A-Level Mathematics · Toán học A-Level · Topic 2 · Chủ đề 2
12:32
Toán Cơ bản 2
Năm nghìn chín trăm mười một, một trận động đất ngoài khơi Nhật Bản đo được cấp 9 trên thang Richter. Một trận động đất nhỏ hơn có thể đo được cấp 6. Chỉ cách nhau ba điểm — nhưng trận đầu tiên…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
This handout covers Topic 2: Pure Mathematics 纯数学 2. It adds the modulus and polynomial algebra, logarithms 对数 and the exponential function 指数函数, more trigonometry, and new ways to differentiate and integrate.
Tài liệu này bao gồm Chủ đề 2: Toán thuần túy 2. Nó bổ sung về mô-đun và đại số đa thức, logarit và hàm mũ, nhiều lượng giác hơn, và các cách mới để đạo hàm và tích phân.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the meaning of $|x|$, sketch the graph of $y = |ax + b|$ and use relations such as $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ and $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ when solving equations and inequalities | Graphs of $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$ for non-linear functions $f$ are not included. e.g. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| divide a polynomial, of degree not exceeding 4, by a linear or quadratic polynomial, and identify the quotient and remainder (which may be zero) | |
| use the factor theorem and the remainder theorem. | e.g. to find factors and remainders, solve polynomial equations or evaluate unknown coefficients. Including factors of the form $(ax + b)$ in which the coefficient of $x$ is not unity, and including calculation of remainders. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
The modulus 绝对值 $|x|$ is the size of a number with its sign removed, so $|x| \geqslant 0$ always. The graph of $y = |ax + b|$ is a "V" shape that bounces off the $x$-axis. Two useful rules for solving equations and inequalities are
Worked example. Solve $|3x + 8| < 9$.
Using the second rule with the inequality written as $-9 < 3x + 8 < 9$:
A polynomial 多项式 is a sum of powers of $x$, such as $2x^4 + 3x^2 - 5$. Its degree 次数 is the highest power. When you divide one polynomial by another you get a quotient 商 and a remainder 余数.
Worked example. The polynomial $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ has factor $(x + 2)$. Find $k$.
By the factor theorem $p(-2) = 0$:
Mô-đun $|x|$ là kích thước của một số khi đã loại bỏ dấu, vì vậy $|x| \geqslant 0$ luôn đúng. Đồ thị của $y = |ax + b|$ có dạng chữ "V" và phản xạ lại trục $x$. Hai quy tắc hữu ích để giải phương trình và bất phương trình là
Ví dụ minh họa. Giải $|3x + 8| < 9$.
Sử dụng quy tắc thứ hai với bất phương trình viết dưới dạng $-9 < 3x + 8 < 9$:
Một đa thức là tổng của các lũy thừa của $x$, chẳng hạn như $2x^4 + 3x^2 - 5$. Bậc của nó là lũy thừa cao nhất. Khi bạn chia một đa thức cho một đa thức khác, bạn sẽ nhận được một thương và một dư.
Ví dụ minh họa. Đa thức $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ có nhân tử là $(x + 2)$. Tìm $k$.
Theo định lý nhân tử ta có $p(-2) = 0$:
y = a|x − b| + c
The modulus makes a V-shape. Move its vertex with b and c; change how steep the arms are with a. · Hàm giá trị tuyệt đối tạo thành hình chữ V. Di chuyển đỉnh bằng b và c; thay đổi độ dốc của cánh tay bằng a.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Toán học thuần túy |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | logarit |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | hàm mũ |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | mô-đun |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | đa thức |
| degree/dɪˈɡriː/ | bậc |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | thương |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | phần dư |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | định lý dư |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | định lý nhân tử |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | luỹ thừa |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | các luật logarit |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | logarit tự nhiên |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | dạng tuyến tính |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relationship between logarithms and indices, and use the laws of logarithms (excluding change of base) | |
| understand the definition and properties of $e^x$ and $\ln x$, including their relationship as inverse functions and their graphs | Including knowledge of the graph of $y = e^{kx}$ for both positive and negative values of $k$. |
| use logarithms to solve equations and inequalities in which the unknown appears in indices | e.g. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| use logarithms to transform a given relationship to linear form, and hence determine unknown constants by considering the gradient and/or intercept. | e.g. $y = kx^n$ gives $\ln y = \ln k + n \ln x$ which is linear in $\ln x$ and $\ln y$ $y = k(a^x)$ gives $\ln y = \ln k + x \ln a$ which is linear in $x$ and $\ln y$. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu mối liên hệ giữa logarit và lũy thừa, và sử dụng các quy tắc logarit (trừ đổi cơ số) | |
| hiểu định nghĩa và tính chất của $e^x$ và $\ln x$, bao gồm mối quan hệ của chúng như các hàm nghịch đảo và đồ thị của chúng | Bao gồm kiến thức về đồ thị của $y = e^{kx}$ cho cả giá trị dương và âm của $k$. |
| sử dụng logarit để giải các phương trình và bất phương trình mà trong đó ẩn số xuất hiện ở số mũ | Ví dụ: $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| sử dụng lôgarit để biến đổi một quan hệ đã cho về dạng tuyến tính, và từ đó xác định các hằng số chưa biết bằng cách xem xét độ dốc và/hoặc tung độ gốc. | Vd. $y = kx^n$ cho $\ln y = \ln k + n \ln x$ là tuyến tính theo $\ln x$ và $\ln y$ $y = k(a^x)$ cho $\ln y = \ln k + x \ln a$ là tuyến tính theo $x$ và $\ln y$. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
A logarithm answers the question "what power?". If $a^x = y$ then $x = \log_a y$. Logarithms and indices 指数 (powers) are reverse ideas. The laws of logarithms 对数定律 are
The exponential function $e^x$ and the natural logarithm 自然对数 $\ln x$ are inverse functions, so $\ln(e^x) = x$ and $e^{\ln x} = x$. When the unknown is in the power, take logs of both sides.
Worked example. Solve $4^x < 0.05$.
Linear form 线性形式: a relationship like $y = Ax^n$ becomes a straight line if you take logs: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Plotting $\ln y$ against $\ln x$ gives a line with gradient $n$ and intercept $\ln A$, so you can find the unknown constants.
Một logarit trả lời câu hỏi "lũy thừa bao nhiêu?". Nếu $a^x = y$ thì $x = \log_a y$. Logarit và số mũ (lũy thừa) là các khái niệm ngược nhau. Các luật của logarit là
Hàm mũ $e^x$ và logarit tự nhiên $\ln x$ là các hàm nghịch đảo, do đó $\ln(e^x) = x$ và $e^{\ln x} = x$. Khi ẩn số nằm ở số mũ, hãy lấy logarit của cả hai vế.
Ví dụ minh họa. Giải $4^x < 0.05$.
Dạng tuyến tính: một mối quan hệ như $y = Ax^n$ sẽ trở thành đường thẳng nếu bạn lấy logarit: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Vẽ đồ thị $\ln y$ theo $\ln x$ sẽ cho một đường thẳng có hệ số góc là $n$ và tung độ gốc là $\ln A$, từ đó bạn có thể tìm các hằng số chưa biết.
y = a·bˣ
Change the base b: when b > 1 the curve grows, when 0 < b < 1 it decays — and it always passes through (0, a). · Thay đổi cơ số b: khi b > 1 đường cong tăng, khi 0 < b < 1 nó giảm — và nó luôn đi qua (0, a).
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relationship of the secant, cosecant and cotangent functions to cosine, sine and tangent, and use properties and graphs of all six trigonometric functions for angles of any magnitude | |
| use trigonometrical identities for the simplification and exact evaluation of expressions, and in the course of solving equations, and select an identity or identities appropriate to the context, showing familiarity in particular with the use of: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ and $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – the expansions of $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ and $\tan(A \pm B)$ – the formulae for $\sin 2A$, $\cos 2A$ and $\tan 2A$ – the expression of $a \sin \theta + b \cos \theta$ in the forms $R \sin(\theta \pm \alpha)$ and $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | e.g. simplifying $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. e.g. solving $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu mối liên hệ giữa hàm cosecant, secant và cotangent với cosine, sine và tangent, và sử dụng các tính chất cùng đồ thị của cả sáu hàm lượng giác cho góc có độ lớn bất kỳ | |
| sử dụng các đẳng thức lượng giác để rút gọn và tính giá trị chính xác của biểu thức, cũng như trong quá trình giải phương trình; chọn một hoặc nhiều đẳng thức phù hợp với ngữ cảnh, thể hiện sự thành thạo đặc biệt trong việc sử dụng: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ và $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – các khai triển của $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ và $\tan(A \pm B)$ – các công thức cho $\sin 2A$, $\cos 2A$ và $\tan 2A$ – việc biểu diễn $a \sin \theta + b \cos \theta$ dưới các dạng $R \sin(\theta \pm \alpha)$ và $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | Vd. rút gọn $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. Vd. giải $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
There are three more functions, each the reciprocal of one you know: the secant 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, the cosecant 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, and the cotangent 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
You must know these trigonometric identities 三角恒等式 and choose the right one for each problem:
Worked example. Solve $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ for $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Replace $\tan^2\theta$ with $\sec^2\theta - 1$ to get one function:
Có ba hàm nữa, mỗi hàm là nghịch đảo reciprocal của một hàm bạn đã biết: secant $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, cosecant $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, và cotangent $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
Bạn phải thuộc các hằng đẳng thức lượng giác này và chọn đúng cái cho từng bài toán:
Ví dụ có lời giải. Giải $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ đối với $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Thay thế $\tan^2\theta$ bằng $\sec^2\theta - 1$ để thu được một hàm duy nhất:
Drag the angle to see how $\sin$, $\cos$ and $\tan$ relate — the key to solving trig equations. · Kéo góc để xem $\sin$, $\cos$ và $\tan$ liên hệ với nhau thế nào — chìa khóa để giải phương trình lượng giác.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | cát tuyến |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | cosecant |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | cotangent |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | hằng đẳng thức lượng giác |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | góc hợp |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | góc đôi |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | công thức R |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | quy tắc tích |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | quy tắc thương |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | phương trình tham số |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | gián tiếp |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the derivatives of $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, together with constant multiples, sums, differences and composites | |
| differentiate products and quotients | e.g. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| find and use the first derivative of a function which is defined parametrically or implicitly. | e.g. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. e.g. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Including use in problems involving tangents and normals. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| sử dụng đạo hàm của $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, cùng với các bội hằng số, tổng, hiệu và hàm hợp | |
| đạo hàm của tích và thương | Vd. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| tìm và sử dụng đạo hàm cấp một của hàm được xác định tham số hoặc ngầm định. | Vd. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. Vd. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Bao gồm cả ứng dụng trong các bài toán tiếp tuyến và pháp tuyến. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
Learn these standard derivatives:
For a product or a quotient of two functions, use:
When a curve is given by parametric equations 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, the gradient is $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. When $y$ is defined implicitly 隐式 (not made the subject), differentiate every term with respect to $x$, using the chain rule on the $y$ terms, then solve for $\dfrac{dy}{dx}$.
Worked example. Given $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, find $\dfrac{dy}{dx}$.
Use the product rule with $u = 6x$ and $v = \cos(x^2 + 1)$ (and the chain rule for $v$):
Học thuộc các đạo hàm chuẩn sau:
Đối với tích hoặc thương của hai hàm, hãy sử dụng:
Khi một đường cong được cho bởi phương trình tham số $x = x(t)$, $y = y(t)$, thì hệ số góc là $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Khi $y$ được xác định ngầm (không làm chủ thể), hãy đạo hàm từng hạng tử theo $x$, áp dụng quy tắc chuỗi cho các hạng tử $y$, sau đó giải tìm $\dfrac{dy}{dx}$.
Ví dụ minh họa. Cho $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, tìm $\dfrac{dy}{dx}$.
Sử dụng quy tắc tích với $u = 6x$ và $v = \cos(x^2 + 1)$ (và quy tắc chuỗi cho $v$):
y = ax³ + bx² + cx + d
Move the point: the tangent line is the derivative at that x. Where the curve turns, the gradient is zero. · Di chuyển điểm: tiếp tuyến chính là đạo hàm tại x đó. Nơi đường cong quay đầu, độ dốc bằng không.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • extend the idea of ‘reverse differentiation’ to include the integration of $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ and $\sec^2(ax + b)$ | Knowledge of the general method of integration by substitution is not required. |
| • use trigonometrical relationships in carrying out integration | e.g. use of double-angle formulae to integrate $\sin^2 x$ or $\cos^2(2x)$. |
| • understand and use the trapezium rule to estimate the value of a definite integral. | Including use of sketch graphs in simple cases to determine whether the trapezium rule gives an over-estimate or an under-estimate. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • mở rộng khái niệm 'đảo ngược đạo hàm' để bao gồm tích phân của $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ và $\sec^2(ax + b)$ | Không yêu cầu kiến thức về phương pháp chung của tích phân theo phép thế. |
| • sử dụng các quan hệ lượng giác trong việc thực hiện tích phân | Vd. sử dụng công thức nhân đôi để tích phân $\sin^2 x$ hoặc $\cos^2(2x)$. |
| • hiểu và sử dụng quy tắc hình thang để ước tính giá trị của tích phân xác định. | Bao gồm cả việc sử dụng đồ thị nháp trong các trường hợp đơn giản để xác định quy tắc hình thang cho kết quả ước lượng cao hay thấp hơn giá trị thực. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
Integration is reverse differentiation — reverse each new derivative; harder integrals may need integration by substitution 换元积分 (developed in Pure 3). For a linear inside function $(ax + b)$:
Worked example. Find $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
Use $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
Tích phân là đảo ngược của đạo hàm — đảo ngược mỗi đạo hàm mới; các tích phân khó hơn có thể cần tích phân theo biến phụ (được phát triển trong Toán thuần túy 3). Đối với một hàm bên trong dạng tuyến tính $(ax + b)$:
Ví dụ minh họa. Tìm $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
Sử dụng $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
area = ∫ f(x) dx
The integral still measures area — drag a and b to total the strip under the curve. · Tích phân vẫn đo diện tích — kéo a và b để tính tổng diện tích dải dưới đường cong.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | qui tắc hình thang |
| root/ruːt/ | nghiệm |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • locate approximately a root of an equation, by means of graphical considerations and/or searching for a sign change | e.g. finding a pair of consecutive integers between which a root lies. |
| • understand the idea of, and use the notation for, a sequence of approximations which converges to a root of an equation | |
| • understand how a given simple iterative formula of the form $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ relates to the equation being solved, and use a given iteration, or an iteration based on a given rearrangement of an equation, to determine a root to a prescribed degree of accuracy. | Knowledge of the condition for convergence is not included, but an understanding that an iteration may fail to converge is expected. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • xác định xấp xỉ nghiệm của phương trình, thông qua các xét đồ thị và/hoặc tìm kiếm sự đổi dấu | Vd. tìm một cặp số nguyên liên tiếp mà nghiệm nằm giữa chúng. |
| • hiểu ý tưởng và sử dụng ký hiệu cho dãy xấp xỉ hội tụ đến nghiệm của một phương trình | |
| • hiểu cách một công thức lặp đơn giản đã cho có dạng $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ liên quan đến phương trình đang giải, và sử dụng một phép lặp đã cho, hoặc một phép lặp dựa trên việc biến đổi lại phương trình đã cho, để xác định nghiệm với độ chính xác quy định. | Không bao gồm điều kiện hội tụ, nhưng cần hiểu rằng một phép lặp có thể không hội tụ. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
Many equations cannot be solved exactly. Two ideas help you find a root 根 (a solution).
Worked example. A root $\beta$ of an equation satisfies $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, and $-1.4 < \beta < -1.0$. Use the iteration $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ with $x_0 = -1.2$.
Nhiều phương trình không thể giải chính xác. Hai ý tưởng giúp bạn tìm được một nghiệm (một lời giải).
Ví dụ minh họa. Một nghiệm $\beta$ của một phương trình thỏa mãn $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, và $-1.4 < \beta < -1.0$. Sử dụng phép lặp $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ với $x_0 = -1.2$.
y = ax³ + bx² + cx + d
A root is where the curve crosses zero. A sign change in f(x) traps a root between two x-values. · Một nghiệm là nơi đường cong cắt trục hoành. Sự đổi dấu của f(x) nhốt nghiệm giữa hai giá trị x.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | thay đổi dấu |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | lặp lại |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | công thức lặp |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | hội tụ |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | tích phân theo phương pháp đổi biến |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
Loading subjects… · Đang tải danh sách môn…