ลูกตุ้มนิรภัยและลูกตุ้มนาฬิกา
| English | ไทย |
|---|---|
| simple pendulum/ˈsɪmpl ˈpendjʊləm/ | ลูกตุ้มนิรภัย |
| physical pendulum/ˈfɪzɪkl ˈpendjʊləm/ | ลูกตุ້มนิรภัยจริง |
ทุกการแกว่งมีเวลาคงที่
- ก้านนาฬิกาขี้ผึ้งส่งเสียงติ๊กเป็นวินาทีอย่างสม่ำเสมอ
- เด็กบนชิงช้าใช้เวลาเท่ากันไม่ว่าจะถูกเขย่าสูงหรือต่ำ
- วัตถุที่แกว่งได้ไม่ว่าจะบางหรือหนา จะมีจังหวะเฉพาะตัวที่ไม่เปลี่ยนแปลง
- สมการสองสมการใช้คำนวณเวลาของการแกว่งเล็กน้อยรอบจุดหมุน
ลูกตุ้มนิรนาม
- ลูกตุ้มนิรนาม คือมวลจุดหนึ่งผูกกับเชือกเบาที่ยาว $L$:
- แรงโน้มถ่วงสร้างแรงบิดคืนที่เพิ่มขึ้นตามมุม
- สำหรับมุมเล็ก การแกว่งจะเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเส้น (SHM)
ลูกตุ้มนิรภัยมี $L = 0.25\ \text{m}$ และ $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ คาบของมัน (ในวินาที, ทศนิยม 1 ตำแหน่ง) คือ?
$T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\pi\sqrt{0.25/9.8} \approx 1.0\ \text{s}$.
การเพิ่มมวลของลูกตุ้มของลูกตุ้มนิรภัยเป็นสองเท่า จะเปลี่ยนคาบของมัน
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ไม่มีมวล -- มวลของลูกตุ้มตัดกันเอง
ลูกตุ้มนิรพ
- ลูกตุ้มนิรพ คือวัตถุแข็งรูปทรงใดๆ ที่แกว่งรอบจุดหมุน:
- $I$ คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดหมุน, $d$ คือระยะจากจุดหมุนถึงศูนย์กลาง
- เปรียบเสมือนไม้บรรทัด ไม้เบสบอล หรือขา — แต่ละชิ้นแกว่งด้วยคาบนี้
สำหรับคาบของลูกตุ้มนาฬิกา $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$ ค่าของ $d$ คืออะไร?
$d$ คือระยะจากจุดหมุนถึงศูนย์กลางมวล -- ค้างคาวของแรงโน้มถ่วง
อย่างหนึ่งเป็นกรณีพิเศษของอีกอย่างหนึ่ง
- สำหรับมวลจุดที่ระยะ $L$: จะได้ $I = mL^2$ และ $d = L$
- แทนค่าลงไปจะได้: $T = 2\pi\sqrt{mL^2/(mgL)} = 2\pi\sqrt{L/g}$
- ดังนั้นลูกตุ้มนิรนามคือกรณี simplest ของลูกตุ้มนิรพ
ลูกตุ้มนิรภัยและลูกตุ้มนาฬิกา
เปลี่ยนความยาวและความเร่งโน้มถ่วงเพื่อดูว่าคาบของลูกตุ้มตอบสนองอย่างไร -- แอมพลิจูดแทบไม่มีความสำคัญ
สูตรลูกตุ้มนิรภัยเป็นกรณีพิเศษของสูตรลูกตุ้มนาฬิกา
ใส่ $I = mL^2$ และ $d = L$ ลงใน $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$ แล้วคุณจะได้ $2\pi\sqrt{L/g}$ กลับมา
แท่งเนื้อสม่ำเสมอยาว $L$ ที่หมุนรอบปลายหนึ่งจะมี $I = \tfrac{1}{3}mL^2$ และ $d = L/2$
- $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgd}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\tfrac{1}{3}mL^2}{mg\cdot L/2}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}$.
- มันแกว่งเร็วขึ้นเล็กน้อยเมื่อเทียบกับลูกตุ้มนิรนามที่มีความยาวเท่ากัน
สำหรับลูกตุ้มนาฬิกา โมเมนต์ความเฉื่อยในการหมุน $I$ ต้องวัดเกี่ยวกับ...
วัตถุหมุนรอบจุดหมุน ดังนั้น $I$ จึงวัดเกี่ยวกับแกนนั้น
สูตรคาบลูกตุ้มทั้งสองใช้ได้ก็ต่อเมื่อมุมการแกว่งเป็น...
มีเพียงมุมเล็กเท่านั้นที่ทำให้แรงคืนตัวแปรผันตรงกับผลกระจัด (การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกง่าย)
สมการทั้งสองสมมติว่า มุมเล็ก — เกินประมาณ $15^\circ$ การเคลื่อนที่จะไม่เป็น SHM แท้ๆ สำหรับลูกตุ้มนิรพ ให้ใช้ $I$ รอบ จุดหมุน (ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานถ้าคุณรู้ $I$ รอบศูนย์กลาง) และกำหนดให้ $d$ เป็นระยะจากจุดหมุนถึงศูนย์กลางมวล ไม่ใช่ความยาวเต็ม
ลูกตุ้มนิรนาม (มวลจุดบนเชือก) แกว่งด้วย $T = 2\pi\sqrt{L/g}$; ลูกตุ้มนิรพ (วัตถุแข็งรูปทรงใดๆ บนจุดหมุน) แกว่งด้วย $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$, โดยที่ $I$ คำนวณรอบจุดหมุนและ $d$ วัดถึงศูนย์กลางมวล กรณีนิรนามเกิดขึ้นจากกรณีนิรพโดยธรรมชาติ และทั้งสองชนิดจะเป็น SHM ก็ต่อเมื่อมุมเล็กเท่านั้น