กฎของเกาส์
| English | ไทย |
|---|---|
| Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/ | กฎของเกาส์ |
| permittivity/ˌpɜːmɪˈtɪvəti/ | permittivity |
| Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/ | พื้นผิวเกาซ |
แปลงอินทิกรัลที่ยุ่งเหยิงให้อยู่บรรทัดเดียว
- การหา $E$ จากวัตถุที่มีประจุขนาดใหญ่โดยการอินทิกรัลเป็นเรื่องยาก
- กฎของเกาส์ แนะนำทางลัด — เมื่อรูปร่างมีสมมาตร
- เชื่อมโยงฟลักซ์ที่ผ่านพื้นผิวปิดเข้ากับประจุที่กักขังอยู่ภายใน
- เมื่อเลือกพื้นผิวที่เหมาะสม คุณสามารถอ่านค่า $E$ ได้ในขั้นตอนเดียว
ตัวกฎเอง
- สำหรับ ทุก พื้นผิวปิด: $\oint \vec E \cdot d\vec A = \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$.
- ด้านซ้ายคือฟลักซ์รวม; ด้านขวาคือประจุที่ถูกล้อมรอบหารด้วย $\varepsilon_0$
- $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}$ คือ ความยอมให้ต่อไฟฟ้า (permittivity) ของสุญญากาศ
- มีเพียงประจุ ภายใน พื้นผิวเท่านั้นที่มีผลนับ
ฟลักซ์จากประจุ
ดูเส้นสนามจากประจุกระจายและตัดผ่านพื้นผิวใดๆ รอบๆ
ในกฎของเกาส์ ฟลักซ์ผ่านพื้นผิวปิดมีค่าเท่ากับ:
$\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$.
ประจุภายนอกหักล้างกันเอง
- ประจุ ภายนอก พื้นผิวจะส่งฟลักซ์เข้าและออกเท่ากัน
- ดังนั้นผลรวมสุทธิของฟลักซ์ที่ผ่านพื้นผิวปิดจึงเป็น ศูนย์
- นี่คือเหตุผลว่าทำไมมีเพียง $Q_{\text{enc}}$ เท่านั้นที่ปรากฏทางขวา
- สนามบนพื้นผิวยังรู้สึกถึงประจุภายนอก — แต่ ฟลักซ์ ไม่ได้รับผลกระทบ
ประจุภายนอกพื้นผิวปิดเพิ่มฟลักซ์สุทธิเป็นศูนย์
ประจุภายนอกส่งฟลักซ์เข้าไปเท่าที่มันส่งออกมา — สุทธิเป็นศูนย์
พื้นผิวหนึ่งห่อหุ้ม $+6\ \text{nC}$ และ $-2\ \text{nC}$. ประจุสุทธิใด (หน่วย nC) ที่จะกำหนดฟลักซ์?
มีเพียงประจุที่ห่อหุ้มที่สำคัญ: $6 + (-2) = 4\ \text{nC}$.
เลือกพื้นผิวที่สอดคล้องกับความสมมาตร
- ทรงกลม ของประจุ → ใช้พื้นผิว Gaussian แบบทรงกลม
- เส้น ของประจุ → ใช้กระบอกทรงร่วมแกน
- ระนาบ ของประจุ → ใช้กล่องทรงกระบอกเล็ก (pillbox) ตัดผ่านมัน
- เลือกให้ $E$ มีค่าคงที่ และตั้งฉากหรือขนานกับแต่ละส่วนย่อย
พื้นผิวปิดสมมติที่เราอินทิเกรตเรียกว่าพื้นผิว ____
เป็นพื้นผิวเกาเซียน ที่เลือกให้สอดคล้องกับความสมมาตร
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้องเกี่ยวกับกฎของเกาส์
เป็นจริงเสมอ มีประโยชน์ที่สุดเมื่อมีความสมมาตร ถูกขับเคลื่อนโดยประจุที่ห่อหุ้ม — บนพื้นผิวปิด
ผลลัพธ์ที่ทรงพลัง รวดเร็ว
- นอกทรงกลมที่มีประจุ: $E = \dfrac{kQ}{r^2}$ — เหมือนประจุจุดเป๊ะๆ
- รอบเส้นประจุอนันต์: $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$
- ใกล้ระนาบประจุอนันต์: $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (คงที่)
- แต่ละอย่างสามารถหาได้จากกฎของเกาส์ในไม่กี่บรรทัด
ภายนอกทรงกลมที่มีประจุ $Q$ สม่ำเสมอ สนามคือ:
กฎของเกาส์ให้ผล $E = kQ/r^2$ ภายนอก — เดียวกับประจุจุด
หา $E$ ที่ระยะ $r$ จากภายนอกทรงกลมที่มีประจุ $Q$
- พื้นผิว Gaussian แบบทรงกลมให้ $\oint E\,dA = E(4\pi r^2)$
- ตั้งให้เท่ากับ $Q/\varepsilon_0$: $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{kQ}{r^2}$
กฎของเกาส์เป็นจริง เสมอ แต่จะมีประโยชน์ก็ต่อเมื่อความสมมาตรทำให้ $E$ เป็นค่าคงที่บนพื้นผิวของคุณ สำหรับประจุที่ไม่สมมาตร คุณยังสามารถเขียน $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ ได้ แต่ไม่สามารถดึง $E$ ออกมานอกอินทิกรัลได้
กฎของเกาส์ บอกว่า $\oint \vec E \cdot d\vec A = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ — ฟลักซ์ผ่านพื้นผิวปิดขึ้นอยู่กับ ประจุที่ถูกล้อมรอบ เท่านั้น เลือก พื้นผิว Gaussian ที่สอดคล้องกับความสมมาตร (ทรงกลม, กระบอก, ระนาบ) เพื่ออ่านค่า $E$ ในขั้นตอนเดียว