สมการเชิงอนุพันธ์

AP Calculus AB · หัวข้อ 7

ดูสไลด์ ฝึกฝน

บทเรียนวิดีโอสำหรับหัวข้อนี้ เปิดหน้าวิดีโอ

7.1

การสร้างแบบจำลองสถานการณ์ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-7): การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้เราสามารถหาค่าฟังก์ชันและพัฒนาแบบจำลองได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-7.A: ตีความข้อความปัญหาเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีพจน์อนุพันธ์

FUN-7.A.1 สมการเชิงอนุพันธ์เชื่อมโยงฟังก์ชันของตัวแปรอิสระและการอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเข้าด้วยกัน

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

สมการเชิงอนุพันธ์ คือสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันกับอนุพันธ์ของมันเอง มันอธิบายสถานการณ์ผ่าน อัตราการเปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น, "อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณหนึ่งแปรผันตรงกับขนาดของมัน" จะกลายเป็น

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

การเรียนรู้ที่จะแปลประโยคเกี่ยวกับอัตราให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์คือทักษะแรกในหน่วยนี้

7.2

การตรวจสอบคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-7): การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้เราสามารถหาค่าฟังก์ชันและพัฒนาแบบจำลองได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-7.B: ตรวจสอบคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

FUN-7.B.1 สามารถใช้การอนุพันธ์เพื่อตรวจสอบว่าฟังก์ชันใดเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดให้
FUN-7.B.2 อาจมีคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นจำนวนนับไม่ถ้วน

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

คำตอบ ของสมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชันที่ทำให้สมการเป็นจริง คุณสามารถ ตรวจสอบ คำตอบที่เสนอโดยการหาอนุพันธ์แล้วแทนลงในสมการ: ถ้าทั้งสองข้างเท่ากัน ก็เป็นคำตอบ หมายเหตุว่าสมการเชิงอนุพันธ์มักจะมี คำตอบจำนวนนับไม่ถ้วน – ทั้งกลุ่ม – ที่แตกต่างกันด้วยค่าคงที่

7.3

การวาดสนามความชัน

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-7): การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้เราสามารถหาค่าฟังก์ชันและพัฒนาแบบจำลองได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-7.C: ประมาณคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

FUN-7.C.1 สนามความชันคือภาพกราฟิกของสมการเชิงอนุพันธ์บนเซตจุดจำกัดในระนาบ
FUN-7.C.2 สนามความชันให้ข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

สนามความชันและเส้นคำตอบ

สนามความชันวาดสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตารางของส่วนสั้นๆ: ที่แต่ละจุด $(x,y)$ ส่วนนั้นมีความชันเท่ากับ $\dfrac{dy}{dx}$ ที่ประเมินไว้แล้วเพื่อวาด field, แทนค่าหลายจุดลงในฝั่งขวาและวาดส่วนสั้นด้วยความชันนั้นที่แต่ละจุด ภาพแสดงรูปร่างของเส้นโซลูชันโดยไม่แก้สมการ

สนามความชันแสดง dy/dx ที่แต่ละจุด; เส้นโค้งคำตอบจะตามส่วนของเส้นตรง — แต่ละส่วนของเส้นตรงสั้นมีความชัน $\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุดนั้น; เส้นโค้งคำตอบ threading through, staying tangent to the field.

ทักษะการสอบ ส่วนที่พบบ่อยให้ส่วนหนึ่งของสนามความชันและถามให้วาดคำตอบเฉพาะที่ผ่านจุดที่กำหนด – เริ่มที่จุดและ-following the segments, staying tangent to them.

สำรวจ

อ่านสมการเชิงอนุพันธ์เป็นสนามความชัน

สนามความชันวาดความชัน $dy/dx$ ที่แต่ละจุด เส้นโซลูชันทะลุผ่าน เสมอสัมผัสกับส่วนย่อยเล็ก ๆ — คุณสามารถวาดโดยติดตามการไหล

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	สมการเชิงอนุพันธ์
solution/səˈluːʃn/	สารละลาย
slope field/sləʊp fiːld/	สนามความชัน
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/	การแยกตัวแปร
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/	คำตอบทั่วไป
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	เงื่อนไขเริ่มต้น
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/	คำตอบเฉพาะ
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/	ข้อจำกัดโดเมน
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/	การเติบโตและการสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล

7.4

การให้เหตุผลโดยใช้สนามความชัน

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-7): การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้เราสามารถหาค่าฟังก์ชันและพัฒนาแบบจำลองได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-7.C: ประมาณคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

FUN-7.C.3 คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือกลุ่มของฟังก์ชัน

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์คือ ฟังก์ชันหรือกลุ่มของฟังก์ชัน อ่านสนามความชันเพื่อให้เหตุผลเกี่ยวกับพฤติกรรม: เมื่อส่วนของเส้นตรงราบเรียบ ($\tfrac{dy}{dx}=0$) คำตอบจะราบเรียบชั่วคราว; เมื่อส่วนของเส้นตรงชันขึ้น คำตอบจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงเร็วขึ้น; แถบแนวนอนของความชันเท่ากันบ่งชี้ว่าอัตราขึ้นอยู่กับเพียง $y$ (หรือเพียง $x$)

7.6

การหาคำตอบทั่วไปด้วยการแยกตัวแปร

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-7): การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้เราสามารถหาค่าฟังก์ชันและพัฒนาแบบจำลองได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-7.D: หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

FUN-7.D.1 สมการเชิงอนุพันธ์บางชนิดสามารถแก้ได้โดยการแยกตัวแปร
FUN-7.D.2 การหาฟังก์ชันหาอนุพันธ์สามารถใช้หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ได้

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

สมการเชิงอนุพันธ์ในข้อสอบจำนวนมากแก้ได้ bằng การแยกตัวแปร หาก $\dfrac{dy}{dx}$ แยกตัวแปรออกเป็นฟังก์ชันของ $x$ คูณกับฟังก์ชันของ $y$, ย้าย $y$ ทั้งหมดไปฝั่งหนึ่งและ $x$ ทั้งหมดไปอีกฝั่ง แล้วอินทิเกรตทั้งสองข้าง:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

เพิ่มค่าคงที่ของการอินทิเกรตครั้งเดียว (ที่ฝั่ง $x$). นี้ให้ คำตอบทั่วไป

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. แก้ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น $y(0)=2$. แยกตัวแปรและอินทิเกรต:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

การแทน $y(0)=2$ จะได้ $A=2$, ดังนั้นโซลูชันเฉพาะคือ $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

การหาคำตอบเฉพาะโดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้นและการแยกตัวแปร

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-7): การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้เราสามารถหาค่าฟังก์ชันและพัฒนาแบบจำลองได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-7.E: หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์

FUN-7.E.1 คำตอบทั่วไปอาจอธิบายคำตอบนับไม่ถ้วนของสมการเชิงอนุพันธ์ มีเพียงคำตอบเฉพาะเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดเท่านั้น
FUN-7.E.2 ฟังก์ชัน $F$ ที่นิยามโดย $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$ โดยสอดคล้องกับ $F(a) = y_0$
FUN-7.E.3 คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อาจถูกจำกัดโดยโดเมน

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

เงื่อนไขเริ่มต้น – จุดที่ทราบค่า $(x_0,y_0)$ – ช่วยกำหนดเส้นโค้งหนึ่งจากครอบครัวของเส้นโค้งนั้น แทนค่าเพื่อแก้หาคงค่า $C$; ผลลัพธ์ที่ได้คือ คำตอบเฉพาะ มีคำตอบผ่านจุดที่กำหนดให้เพียงคำตอบเดียว ระวัง ข้อจำกัดของโดเมน: เลือกช่วงที่มีจุดเริ่มต้น (เช่นเครื่องหมายของรากที่สองที่ถูกต้อง)

ค่าคงที่สร้างครอบครัวของเส้นโค้ง; เงื่อนไขเริ่มต้นเลือกเส้นโค้งหนึ่ง

7.8

โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียลด้วยสมการเชิงอนุพันธ์

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-7): การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้เราสามารถหาค่าฟังก์ชันและพัฒนาแบบจำลองได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-7.F: ตีความความหมายของสมการเชิงอนุพันธ์และตัวแปรในบริบท

FUN-7.F.1 การประยุกต์ใช้การหาคำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์รวมถึงการเคลื่อนที่ตามเส้นตรงและการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและการสลายตัว
FUN-7.F.2 แบบจำลองการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและการสลายตัวที่เกิดขึ้นจากข้อความ "อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณมีความสัมพันธ์โดยตรงกับขนาดของปริมาณ" คือ $\dfrac{dy}{dt} = ky$

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-7.G: หาคำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะสำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ในบริบท

FUN-7.G.1 แบบจำลองการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและการสลายตัว $\dfrac{dy}{dt} = ky$ โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น $y = y_0$ เมื่อ $t = 0$, มีคำตอบอยู่ในรูป $y = y_0 e^{kt}$

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

E. coli ภายใต้กล้องจุลทรรศน์: สมการเชิงอนุพันธ์จำลองการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลของประชากร

โมเดลที่สำคัญที่สุดคือการ เติบโตและสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล สมการ $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (อัตราการเปลี่ยนแปลงแปรผันตามขนาด) มีคำตอบคือ:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

โดยที่ $y_0$ คือค่าที่ $t=0$ ในที่นี้ $k>0$ แสดงถึงการเติบโต และ $k<0$ แสดงถึงการสลายตัว สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการแยกตัวแปร ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$) และใช้จำลองกระบวนการต่างๆ เช่น การเติบโตของประชากร การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี และกฎการทำความเย็นของนิวตัน ส่วนต่ออาจถามถึง $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: หาอนุพันธ์ $\dfrac{dy}{dt}=ky$ อีกครั้ง (โดยใช้ $\dfrac{dy}{dt}=ky$) เพื่อเขียนในรูปของ $y$

ตัวอย่างทำพร้อมกัน. ตัวอย่างสลายตัวไป $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (ปี) จาก $y_0=50\ \text{g}$. โซลูชันคือ $y=50e^{-0.10t}$, ดังนั้นหลังจาก $10$ ปี $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. ครึ่งชีวิต ของมันแก้ $25=50e^{-0.10t}$, นั่นคือ $e^{-0.10t}=\tfrac12$, ให้ $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ –上不ขึ้นกับปริมาณเริ่มต้น.

ถ้วยกาแฟที่กำลังเย็นลง: กฎการทำความเย็นของนิวตันเป็นโมเดลสมการเชิงอนุพันธ์คลาสสิก

สำรวจ

โมเดลการเติบโต/การสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล

y = a·e^(bx) + c

สมการ $dy/dt=ky$ มี เอกซ์โพเนนเชียล โซลูชัน: ปริมาณเปลี่ยนแปลงด้วยอัตราที่เป็นสัดส่วนกับตัวเอง ให้การเติบโตที่ไม่จำกัด ($k>0$) หรือการสลายตัวสู่ศูนย์ ($k<0$)

7.8

ข้อแนะนำสำหรับการสอบ

แก้สมการที่ แยกตัวแปรได้ โดยย้ายทุก $y$ ไปด้านหนึ่ง และทุก $x$ ไปอีกด้าน แล้วอินทิเกรตทั้งสองข้าง (เพิ่ม $+C$ ครั้งเดียว)
ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหา $C$ (คำตอบเฉพาะ)
วาดหรืออ่าน สนามความชัน: เส้นท่อน้อยๆ แสดง $\tfrac{dy}{dx}$ ที่แต่ละจุด และเส้นคำตอบจะลากตามทิศทางเหล่านั้น
จำแนก โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียล $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (การเติบโต/การสลายตัว)
สมการเชิงอนุพันธ์ให้ความชัน – คุณต้องอินทิเกรตเพื่อคืนฟังก์ชันกลับ

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

ข้อสอบย้อนหลัง

หัวข้อเพิ่มเติมใน AP Calculus AB