จลนศาสตร์

ปริมาณห้าชนิดนี้ปรากฏในคำถามด้าน จลนศาสตร์ เกือบทุกข้อ จำคำศัพท์ให้ชัดเจน — ผู้สอบให้คะแนนตามการใช้คำที่แม่นยำ

• ระยะทาง (distance) — ความยาวรวมของเส้นทางที่เดินทาง สเกลาร์
• การกระจัด (displacement) — ระยะทางตรงจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุด พร้อมทิศทาง เวกเตอร์
• ความเร็ว (speed) — อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อเวลา สเกลาร์
• โมเมนตัม (velocity) — อัตราการเปลี่ยนแปลงของการกระจัดต่อเวลา เวกเตอร์
• ความเร่ง (acceleration) — อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วต่อเวลา เวกเตอร์

หน่วยของความเร็วและโมเมนตัมคือ $\text{m s}^{-1}$; หน่วยของความเร่งคือ $\text{m s}^{-2}$

วลีอีกสองที่ผู้สอบมักใช้: ความเร่งสม่ำเสมอ (uniform acceleration) หมายความว่าความเร่งคงที่ (เส้นตรงบนกราฟความเร็ว–เวลา), และ ความเร่งโน้มถ่วงอิสระ (acceleration of free fall) $g$ คือความเร่งของวัตถุที่ตกอย่างอิสระใน สนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ เมื่อแรงต้านอากาศมีค่า น้อยมากจน 무시ได้ (negligible)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: การชะลอความเร็ว (deceleration) หมายความว่ามีความเร่งในทิศทางตรงข้ามกับความเร็ว ไม่ใช่ปริมาณแยกต่างหาก

ความเร็วบางครั้งให้ใน $\text{km h}^{-1}$ ควรแปลงหน่วยก่อนคำนวณ: $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$

คะแนนจำนวนมากมาจากกราฟการอ่านหรือวาดกราฟการเคลื่อนที่ ซึ่งเป็น วิธีการทางกราฟ (graphical methods) ที่หลักสูตรระบุ มีกราฟที่สำคัญสองชนิด

กราฟการกระจัด–เวลา

ความชัน (gradient) ของกราฟการกระจัด–เวลา ณ จุดหนึ่ง จะให้ความเร็ว ณ วินาทีนั้น

• เส้นราบ → วัตถุอยู่นิ่ง
• เส้นตรงเฉียง → ความเร็วคงที่ (ความชัน = ความเร็ว)
• เส้นโค้ง → ความเร็วเปลี่ยนรูป วาด เส้นสัมผัส (tangent) ที่จุดนั้นแล้วหาความชัน

กราฟความเร็ว–เวลา

ความชันของกราฟความเร็ว–เวลา จะให้ความเร่ง ณ วินาทีนั้น

พื้นที่ ระหว่างเส้นกับแกนเวลา จะให้การกระจัดในช่วงเวลานั้น

• เส้นราบ → ความเร็วคงที่ (ความเร่งเป็นศูนย์)
• เส้นตรงเฉียง → ความเร่งสม่ำเสมอ (ความเร่งคงที่)
• เส้นโค้ง → ความเร่งเปลี่ยนรูป
• พื้นที่เหนือแกนเวลามีค่าเป็นการกระจัดบวก; พื้นที่ใต้แกนเวลามีค่าเป็นการกระจัดลบ (วัตถุเคลื่อนที่กลับหลัง)

ในการหาการกระจัด ให้แบ่งพื้นที่ออกเป็นรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือนับจำนวนช่องตาราง พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$; พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $\text{base} \times \text{height}$。

ตัวอย่างวิธีทำ กราฟแสดงความเร็วของลิฟต์ จงหาความเร่งในแต่ละช่วงและระยะทางทั้งหมดที่เคลื่อนที่

• ช่วง A: ความชัน $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$。
• ช่วง B: เส้นราบ ดังนั้นความเร่งเป็นศูนย์。
• ช่วง C: ความชัน $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (เป็นการชะลอตัวด้วย $1.5\ \text{m s}^{-2}$)。
• ระยะทาง: สามเหลี่ยม A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, สี่เหลี่ยม B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, สามเหลี่ยม C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$; รวม $27\ \text{m}$。

เมื่อกราฟเป็นเส้นโค้ง พื้นที่นั้นยังคงเป็นการกระจัด: นับช่องใต้เส้นโค้ง (ครึ่งช่องหรือมากกว่านับเป็นหนึ่ง) แล้วคูณด้วยค่าของหนึ่งช่อง

สำหรับการเคลื่อนที่ในเส้นตรงด้วยความเร่งคงตัว เราจะใช้สัญลักษณ์ห้าตัว: ความเร็วต้น $u$, ความเร็วปลาย $v$, ความเร่ง $a$, การกระจัด $s$ และเวลา $t$ สมการสี่สมการเชื่อมโยงกันดังนี้:

แต่ละสมการใช้สัญลักษณ์สี่จากห้าตัว เพื่อเลือกสมการที่ถูกต้อง: เขียนสิ่งที่ทราบและสิ่งที่ต้องการออกมาก่อน แล้วเลือกสมการที่มีสัญลักษณ์ทั้งสี่นั้นเท่านั้น

ตัวอย่างวิธีทำ รถยนต์มีความเร่งสม่ำเสมอจาก $8\ \text{m s}^{-1}$ ถึง $20\ \text{m s}^{-1}$ บนระยะทาง $56\ \text{m}$ จงหาความเร่งของรถ

เรารู้ $u$, $v$ และ $s$ และต้องการหา $a$ ดังนั้นใช้ $v^{2} = u^{2} + 2as$:

ที่มาของสมการ SUVAT

คุณควรสามารถหาสมการเหล่านี้ได้จากนิยามของความเร็วและความเร่ง ให้คิดถึงกราฟความเร็ว–เวลาของการเคลื่อนที่: เป็นเส้นตรงจาก $u$ ที่ $t = 0$ ไปยัง $v$ ที่เวลา $t$

• $v = u + at$: ความเร่งคือความชัน $a = (v - u)/t$ ดังนั้น $v = u + at$
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: การกระจัดคือพื้นที่ใต้เส้น ซึ่งเป็น สี่เหลี่ยมคางหมู ที่มีด้านขนาน $u$ และ $v$ และความกว้าง $t$ ดังนั้น $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: แทนค่า $v = u + at$ ลงในพื้นที่: $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: จากสมการแรก $t = (v - u)/a$; แทนค่านี้ลงใน $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ จะได้ $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$

คำถามประเภท "แสดงที่มา" ต้องการขั้นตอนเหล่านี้โดยเฉพาะ โดยแต่ละขั้นต้องเริ่มจากนิยามหรือสมการที่กำหนดไว้แล้วโดยไม่ใช้ตัวเลข

หากโจทย์ถามว่า "สมการใดสามารถหาได้จากการใช้เพียงความชันของกราฟความเร็ว–เวลา?" คำตอบคือ $v = u + at$ (เพราะความชันคือความเร่ง)

คำถามประเภท "แสดงว่า". เมื่อโจทย์ให้คำตอบมา («แสดงว่าความสูงคือ 3.2 กม.») คะแนนจะอยู่ที่วิธีการ ระบุสมการแทนค่าทุกจำนวนพร้อมหน่วย และให้ผลลัพธ์มีหลักสำคัญมากกว่าที่โจทย์ระบุหนึ่งหลัก ($3.24\ \text{km}$ ซึ่งปัดเศษเป็น $3.2\ \text{km}$) การได้ค่าตามที่โจทย์กำหนดมาไม่พิสูจน์อะไรได้เอง

การเลือกทิศทางบวก

เลือกทิศทางบวกตั้งแต่ต้นและยึดมั่นไว้ สิ่งใดชี้ไปในทิศทางตรงข้ามจะได้รับเครื่องหมายลบ สำหรับลูกบอลที่ถูกโยนขึ้นตรงๆ หาก «ขึ้น» เป็นบวก: $u$ เป็นบวก, $a = -g$ (แรงโน้มถ่วง ดึงลง), และที่จุดสูงสุดการกระจัดจะเป็นบวกแต่ความเร็วเป็นศูนย์

เมื่อ แรงต้านอากาศ สามารถละเลยได้ วัตถุในสภาวะ การตกอย่างอิสระ จะมีความเร่งคงที่ $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ ทิศทางลง สิ่งนี้เหมือนกันสำหรับทุกมวล

สำหรับลูกบอลที่ถูกปล่อยจากจุดหยุดนิ่งและตกลงมาด้วยระยะ $h$:

สำหรับลูกบอลที่โยนขึ้นตรงๆ ด้วยความเร็ว $u$:

• สูงสุด: แทนค่า $v = 0$ ลงใน $v^{2} = u^{2} - 2gh$ จะได้ $h = u^{2}/(2g)$。
• เวลาที่จะถึงจุดสูงสุด: แทนค่า $v = 0$ ลงใน $v = u - gt$ จะได้ $t = u/g$.
• รวมเวลาที่จะตกลงกลับมาสู่ความสูงเริ่มต้น: $2u/g$ (การเคลื่อนที่นี้มีความ สมมาตร).

ตัวอย่างวิธีทำ. ลูกบอลถูกโยนขึ้นตรงๆ ที่ $20\ \text{m s}^{-1}$. หาความสูงสูงสุดที่ลูกบอลไปถึง (ใช้ $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

ที่จุดสูงสุด $v = 0$, ดังนั้นจาก $h = u^{2}/(2g)$:

เมื่อแรงต้านอากาศมีนัยสำคัญ

สมการข้างต้นสมมติว่าแรงเดียวที่กระทำคือน้ำหนัก เมื่อมีแรงต้านอากาศ แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุที่ตกจะมีค่าน้อยกว่าน้ำหนัก ดังนั้นความเร่งจะน้อยกว่า $g$; และเนื่องจากแรงต้านอากาศเพิ่มขึ้นตามความเร็ว ความเร่งจึงลดลงเรื่อยๆ mientras วัตถุเร่งเร็วขึ้น บนกราฟความเร็ว–เวลา เส้นจะโค้ง ความชันจะลดลงใกล้ศูนย์ mientras วัตถุเข้าใกล้ ความเร็วสุดท้าย (หัวข้อ 3). สำหรับวัตถุที่ยิง出去, แรงต้านอากาศทำให้ระยะทางสั้นลงและความสูงสูงสุดลดลง, และเส้นทาง不再是สมมาตร พาราโบลา: วัตถุตกลงมาอย่างชันกว่าที่มันพุ่งขึ้น. คำถามประเภท "ระบุและอธิบาย" ต้องการให้ระบุแรงก่อน, แล้วอธิบายผลต่อความเร่ง, ตามด้วยผลต่อการเคลื่อนที่.

การทดลองเพื่อหา $g$

วิธีที่พบบ่อย: ปล่อยวัตถุจากจุดหยุดนิ่ง, แล้ววัดระยะ $h$ ที่มันตกลงมา และเวลา $t$ ที่ใช้เวลา. จากนั้น

ทำซ้ำสำหรับความสูงหลายค่า แล้ววาดกราฟ $h$ เทียบกับ $t^{2}$. ความชันของเส้นตรงที่ใกล้เคียงที่สุดคือ $g/2$ ดังนั้น $g$ จึงเป็นสองเท่าของความชัน การทำซ้ำจะช่วยลด ความคลาดเคลื่อนแบบสุ่ม เครื่องจับเวลาอิเล็กทรอนิกส์ — โดยใช้ ประตูแสง หรือสวิตช์ที่ลูกบอลชน — จะขจัด ความคลาดเคลื่อนจากการตอบสนอง ของมนุษย์ออกได้

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในทิศทางหนึ่ง (เช่น แนวนอน) และมีความเร็วเพิ่มขึ้นในทิศทางที่ตั้งฉากกัน (เช่น แนวตั้ง, ภายใต้อาจถ่วงโลก) การเคลื่อนที่ทั้งสองไม่ส่งผลกระทบต่อกัน ให้พิจารณาแต่ละทิศทางแยกต่างหาก โดยมีสมการ SUVAT ของตัวเอง

การเหวี่ยงในแนวนอน

วัตถุที่ถูกเหวี่ยงในแนวนอนด้วยความเร็ว $u_{\text{H}}$ จากความสูง $h$ โดยไม่คำนึงถึงแรงต้านอากาศ:

• แนวนอน: ความเร็วคงที่ $u_{\text{H}}$. หลังเวลา $t$, ระยะทางในแนวนอนคือ $x = u_{\text{H}} t$.
• แนวตั้ง: เริ่มจากจุดหยุดนิ่งและเร่งความเร็วลงด้านล่างที่ $g$. หลังเวลา $t$, มันได้ตกไป $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ และมีความเร็วในแนวตั้ง $v_{\text{V}} = g t$.

เวลาที่จะถึงพื้นขึ้นอยู่กับ เฉพาะ ความสูง $h$ เท่านั้น ไม่ใช่ $u_{\text{H}}$. แก้ $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ เพื่อหา $t$; จากนั้น ระยะทางในแนวนอน คือ $u_{\text{H}} t$.

ตัวอย่างวิธีทำ. ลูกบอลถูกเหวี่ยงในแนวนอนที่ $15\ \text{m s}^{-1}$ จากยอดผาสูง $20\ \text{m}$. หาเวลาที่มันจะตกลงพื้นและตกลงห่างจากฐานเท่าไหร่ (ใช้ $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

การเคลื่อนที่ในแนวตั้งให้เวลา: จาก $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

การเคลื่อนที่ในแนวนอนจึงให้ระยะทาง: $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

กราฟความเร็วในแนวนอนเป็นเส้นราบอยู่ที่ $u_{\text{H}}$. กราฟความเร็วในแนวตั้งเป็นเส้นตรงจากจุดกำเนิดที่มีความชัน $g$.

เปรียบเทียบวัตถุสองชิ้น. หากวัตถุ A ทิ้งลงมาและวัตถุ B เหวี่ยงในแนวนอนจากความสูงเดียวกันในเวลาเดียวกัน ทั้งสองจะถึงพื้นในเวลาเดียวกัน: การเคลื่อนที่ในแนวตั้งเหมือนกัน หากแทนที่จะเหวี่ยง B ขึ้นgoing component, ใช้เวลานานกว่า เพราะมันต้องขึ้นก่อนและกลับมาสู่ความสูงเดิมก่อนที่มันจะตกเป็นระยะทางเท่าเดิม ความเร็วตอนกระแทกพื้นยังหาค่าได้จากพลังงาน: พลังงานจลน์ที่ได้เท่ากับพลังงานศักleysที่เสียไป ไม่ว่าทิศทางในการเหวี่ยงอย่างไร ดังนั้นลูกบอลที่ถูกเหวี่ยงด้วยมุมใดๆ ด้วยความเร็วเท่ากันจากความสูงเดียวกันจะลงพื้นด้วยความเร็วเท่ากัน (หัวข้อ 5).

วัตถุถูกเหวี่ยงในมุม

วัตถุถูกเหวี่ยง ที่ความเร็ว $u$ ในมุม $\theta$ เหนือแนวนอน:

• องค์ประกอบ ในแนวนอนของความเร็วมองเห็นต้น: $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (คงที่ตลอดการบิน).
• องค์ประกอบในแนวตั้งของความเร็วมองเห็นต้น: $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (ลดลง, เป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด, แล้วเพิ่มขึ้นลงด้านล่าง).

ที่จุดสูงสุด, $v_{\text{V}} = 0$, แต่ $v_{\text{H}}$ ยังคงมีค่า $u\cos\theta$. เวลาถึงจุดบนคือ $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$; เวลาบินทั้งหมด (กลับสู่ความสูงเดิม) คือ $2t_{\text{up}}$.

วาดกราฟความเร็ว ผู้สอบมักให้วาด $v_{\text{H}}$ และ $v_{\text{V}}$ เทียบกับเวลาบนแกนนอนเดียวกัน โดยกำหนดทิศขึ้นเป็นบวก องค์ประกอบแนวนอนเป็นเส้นราบที่ $u\cos\theta$ ตลอดการเดินทาง องค์ประกอบแนวตั้งเป็นเส้นตรงที่มีความชัน $-g$: เริ่มต้นที่ $+u\sin\theta$, ตัดแกนที่ศูนย์ที่จุดสูงสุดของการบิน, และถึง $-u\sin\theta$ เมื่อตกถึงระดับเริ่มต้น ทิ้งป้ายชื่อแต่ละเส้น, ระบุเวลาที่เส้นเริ่มและสิ้นสุด, และทำให้จุดตัดอยู่ตรงกลางที่ $t_{\text{up}}$

ตัวอย่างวิธีทำ. ลูกบอลออกจากพื้นดินที่ $18\ \text{m s}^{-1}$ ที่มุม $60°$ ต่อแนวนอน. แสดงให้เห็นว่ามันถึงความสูงสูงสุดที่ $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. ที่จุดบน $v_{\text{V}} = 0$, ดังนั้นจาก $v = u + at$ ด้วย $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$: $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

ลูกบอลเด้ง

เมื่อลูกบอลเด้ง, กราฟความเร็ว–เวลาของมันคือชุดของเส้นตรงเฉียง ($g$ คงที่) กับการกระโดดทันทีในแต่ละครั้งเด้ง (ความเร็วเปลี่ยนทิศทาง, และลดลงหากมีการสูญเสีย พลังงาน บางส่วน). รวมเวลาและระยะทางข้ามการเด้ง.

อ่านกราฟประเภทนี้อย่างละเอียด: ความชันของเส้นเฉียงทุกเส้นมีค่าเท่ากัน $g$; ลูกบอลอยู่ที่จุดสูงสุดเมื่อใดก็ตามที่เส้นตัดแกนนอน (เวลา); และความสูงของการกระโดดแต่ละครั้งเกิดจากพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหนือ (หรือใต้) แกนนอนสำหรับช่วงการบินนั้น

เมื่อวัตถุสองชิ้นเคลื่อนที่ตามเส้นตรงด้วยวิธีที่แตกต่างกัน ให้เขียนสมการการกระจัดของแต่ละ物体。ใช้จุดเริ่มต้นเวลาเดียวกันและทิศทางบวกเดียวกัน จากนั้นให้การกระจัดทั้งสองเท่ากัน (หรือกำหนดให้ผลต่างของการกระจัดเท่ากับช่องว่างที่กำหนด)

สำหรับขบวนรถสินค้าเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ $u_{\text{G}}$ และขบวนรถด่วนที่เริ่มต้นจากสภาวะหยุดนิ่งด้วยความเร่ง $a$ ทั้งสองขบวนผ่านจุดเดียวกันที่ $t = 0$:

ทั้งสองจะอยู่ในระดับเดียวกันอีกครั้งเมื่อ $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$ ซึ่งจะได้ $t = 2 u_{\text{G}} / a$

1. วาดแผนภาพ และระบุทิศทางบวก
2. รายการสัญลักษณ์ SUVAT พร้อมค่า Known และ Unknown รวมถึงเครื่องหมาย
3. เลือกสมการ SUVAT ที่มีสัญลักษณ์ทั้งสี่ตัวที่คุณมีอยู่พอดี plus ตัวที่ต้องการหาคำตอบ
4. สำหรับโปรเจคไทล์ แยกเป็นปัญหา SUVAT แนวนอนและแนวตั้ง เชื่อมโยงกันเพียงโดยเวลา $t$
5. เสมอ ตรวจสอบหน่วย ของคำตอบของคุณ และตรวจสอบว่าขนาดของค่ามีความสมเหตุสมผลหรือไม่

คำถามคำนิยามจะให้คะแนนตามข้อความที่กำหนดไว้你必须 exact. เรียนรู้ให้ถูกต้องและตอบเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น

• ใช้สมการ SUVAT เฉพาะสำหรับ ความเร่งคงที่; รายการ $s, u, v, a, t$ และเลือกสมการที่ขาดค่า Unknown ของคุณออก
• เลือกทิศทางหนึ่งเป็น บวก และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกัน (มักจะเป็น $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$)
• บน กราฟความเร็ว–เวลา ความชัน $=$ คือความเร่ง และพื้นที่ $=$ คือการกระจัด
• สำหรับโปรเจคไทล์ ให้พิจารณา การเคลื่อนที่แนวนอน (ความเร็วคงที่) และแนวตั้ง ($a = g$) แยกกัน เชื่อมโยงกันโดยเวลาเดียวกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• การบอกว่าลูกบอลหนักกว่าตกลงพื้นก่อน หรือเร็วกว่า เมื่อไม่คำนึงถึงแรงต้านอากาศ ทั้งสองตกลงด้วยความเร่งเท่ากันและลงพื้นด้วยความเร็วเท่ากัน
• การหาความชันของกราฟ $v$–$t$ เมื่อโจทย์ต้องการพื้นที่ หรือหาพื้นที่เมื่อโจทย์ต้องการความชัน ความชันคือความเร่ง; พื้นที่คือการกระจัด
• การวาดเส้นโค้งบนกราฟ $v$–$t$ สำหรับวัตถุภายใต้ความเร่งคงที่ ความเร่งคงที่เป็นเส้นตรง; เฉพาะเครื่องหมายของ $v$ ที่เปลี่ยนไปในการเด้งกลับ
• การใช้ $g = +9.81$ สำหรับลูกบอลที่ถูกโยนขึ้นด้วย "ขึ้น" เป็นบวก เมื่อขึ้นเป็นบวกแล้ว $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ ตลอดช่วงบิน รวมถึงขณะตกลงมาด้วย
• การใช้สมการ SUVAT เมื่อความเร่งมีการเปลี่ยนแปลง (แรงต้านอากาศ, กราฟโค้ง) entonces Then only graph methods work.