ปริมาณทางกายภาพและหน่วยวัด

ปริมาณทางฟิสิกส์ มีสองส่วน: ตัวเลข (ขนาด) และ หน่วย. ตัวเลขเพียงอย่างเดียวบอกอะไรคุณไม่ได้ คุณต้องระบุว่าวัดอะไรและในหน่วยใด

ตัวอย่าง: "ความยาวคือ 1.5" ไม่สมบูรณ์. "ความยาวคือ 1.5 เมตร" เป็นปริมาณทางฟิสิกส์

การทำประมาณค่า

คุณควรสามารถ ประมาณ ขนาดของปริมาณทางฟิสิกส์ในหลักสูตรนี้ได้. ข้อสอบ Paper 1 มักจะเริ่มด้วยคำถามลักษณะนี้. จดจำค่าคร่าวๆ เหล่านี้:

• มวล ของมนุษย์ผู้ใหญ่: $\sim 70\ \text{kg}$; ของรถยนต์: $\sim 1000\ \text{kg}$; ของแอปเปิ้ล: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• น้ำหนัก ของมนุษย์ผู้ใหญ่: $\sim 700\ \text{N}$; ของแอปเปิ้ล: $\sim 1\ \text{N}$
• ส่วนสูงของมนุษย์ผู้ใหญ่: $\sim 1.7\ \text{m}$; ส่วนสูงของห้อง: $\sim 3\ \text{m}$
• ความเร็วในการเดิน: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$; รถยนต์บนถนนเร็ว: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• ความเร็วเสียงในอากาศ: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$; ความเร็วแสงใน สุญญากาศ: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• ความเร่ง ของ การตกอย่างอิสระ: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• ความหนาแน่น ของน้ำ: $1000\ \text{kg m}^{-3}$; ของอากาศ: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$; ของเหล็กกล้า: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• แรงดันบรรยากาศ: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• อุณหภูมิห้อง: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• กำลังไฟฟ้าของกาน้ำร้อน: $\sim 2\ \text{kW}$; ของคนปีนบันได: $\sim 300\ \text{W}$
• ความยาวคลื่นของแสงที่มองเห็นได้: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$; เส้นผ่านศูนย์กลางของอะตอม: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$; ของนิวเคลียส: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

การทำประมาณที่ดีควรมี ลำดับของขนาด ที่ถูกต้อง (กำลังสิบที่ถูกต้อง). สำหรับมนุษย์, 70 กิโลกรัมเป็นการเดาที่ดี; 7 กิโลกรัมไม่ใช่

เพื่อประมาณปริมาณที่ไม่อยู่ในรายการ, สร้างมันขึ้นมาจากสิ่งที่อยู่ในการนั้น. พลังงานจลน์ของรถยนต์ที่กำลังเคลื่อนที่คือ $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. แรงดันใต้เท้าคนที่ยืนนิ่งคือ $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. ตรวจสอบเสมอว่ากำลังสิบดูสมเหตุสมผลก่อนที่จะไปขั้นตอนถัดไป

หน่วยพื้นฐาน

ระบบ SI มีเจ็ด ปริมาณพื้นฐาน; ห้าในจำนวนนั้นใช้ในหัวข้อนี้. คุณต้องรู้ห้าสิ่งเหล่านี้และหน่วยของพวกมัน:

• มวล — กิโลกรัม, $\text{kg}$
• ความยาว — เมตร, $\text{m}$
• เวลา — วินาที, $\text{s}$
• กระแสไฟฟ้า — แอมแปร์, $\text{A}$
• อุณหภูมิ — เคลวิน, $\text{K}$

ทุกหน่วยอื่นในหลักสูตรนี้สร้างมาจากห้าสิ่งนี้

หน่วยอนุพันธ์

หน่วยอนุพันธ์ สร้างจากการคูณหรือหารหน่วยพื้นฐาน. คุณควรเขียนปริมาณใดๆ ในหลักสูตรนี้เป็นหน่วยพื้นฐานได้

สร้างหน่วยอนุพันธ์จากสมการที่นิยามมัน:

• ความเร็ว = ระยะทาง / เวลา, ดังนั้นหน่วยของมันคือ $\text{m s}^{-1}$
• ความเร่ง = การเปลี่ยนแปลง ความเร็ว / เวลา, ดังนั้นหน่วยของมันคือ $\text{m s}^{-2}$
• แรง = มวล × ความเร่ง, ดังนั้นหน่วยของมันคือ $\text{kg m s}^{-2}$. นิวตัน คือ $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$
• งาน และ พลังงาน = แรง × ระยะทาง, ดังนั้นหน่วยคือ $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. จูล คือ $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• กำลังไฟฟ้า = พลังงาน / เวลา, ดังนั้นหน่วยคือ $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. วัตต์ คือ $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$
• แรงดัน และ ความเครียด = แรง / พื้นที่, ดังนั้นหน่วยคือ $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. ** پاسคาล** คือ $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$

เมื่อโจทย์ถามหาหน่วยพื้นฐาน SI ของปริมาณหนึ่ง, แทนที่หน่วยที่ระบุด้วยหน่วยพื้นฐานของแต่ละตัว แล้วลดรูป. ตัวอย่าง: หน่วยพื้นฐาน SI ของวัตต์คือ $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$

การตรวจสอบให้หน่วยตรงกัน

สมการจะเป็น สม่ำเสมอ (homogeneous) เมื่อทั้งสองข้างมีหน่วยพื้นฐานเดียวกัน. ในภาษาธรรมดา: หน่วยทั้งสองข้างตรงกัน

เขียนแต่ละข้างในหน่วยพื้นฐานและเปรียบเทียบ. นำสมการ $v^{2} = u^{2} + 2as$ มาใช้:

• ข้างซ้าย: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• ด้านขวา, พจน์แรก: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• ข้างขวา, พจน์ที่สอง: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

ทั้งสองข้างให้ผลลัพธ์ $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, ดังนั้นหน่วยตรงกัน

ระวัง: การที่หน่วยตรงกัน ไม่พิสูจน์ว่าสมการทั้งหมดถูกต้อง. มันอาจยังมีตัวเลขผิด, หรือขาดปัจจัย 2. แต่ถ้าหน่วย ไม่ ตรงกัน สมการนั้นผิดแน่นอน

ตัวอย่างวิธีทำ. แรงต้านทาน对一个 falling ball ให้โดย $F = kv^{2}$, โดยที่ $v$ คือความเร็ว. หาหน่วยพื้นฐาน SI ของคงที่ $k$

จัดรูปใหม่: $k = F / v^{2}$. ในหน่วยพื้นฐาน, $F$ คือ $\text{kg m s}^{-2}$ และ $v^{2}$ คือ $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, ดังนั้น

คำถามแบบเลือกตอบมักถามว่า "สมการใดอาจถูกต้อง?" ตรวจสอบหน่วยพื้นฐานของแต่ละตัวเลือก; เฉพาะสมการที่มีมิติเดียวกัน (homogeneous) จึงจะถูกต้องได้ ตัวเลขบริสุทธิ์ (เช่น 2, $\pi$ หรือ $\tfrac{1}{2}$) ไม่มีหน่วย ดังนั้นจึงไม่ส่งผลต่อการตรวจสอบนี้

ปrefixes

** Prefix ** คือตัวอักษรที่วางหน้าหน่วยเพื่อทำให้มีขนาดใหญ่ขึ้นหรือเล็กลงตามกำลังของสิบ คุณต้องรู้สิ่งเหล่านี้:

ในการเปลี่ยนหน่วยที่มี prefix เป็นหน่วยพื้นฐาน ให้แทนที่ prefix ด้วยค่า factor แล้วทำให้ง่ายที่สุด ตัวอย่าง: เปลี่ยน $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ เป็น $\text{N m}^{-2}$:

ระมัดระวังเป็นพิเศษกับหน่วยยกกำลังสองเช่น $\text{mm}^{2}$: คุณต้องยกกำลังสองค่า factor ด้วย

ทุกการวัดจะมีความไม่แน่นอนบางประการ — เราไม่สามารถมั่นใจในค่าที่แท้จริงได้สมบูรณ์ นักทดลองที่ดีรู้ที่มาของความไม่แน่นอน ทำการประมาณค่าอย่างยุติธรรม และนำมันไปคำนวณต่อจนได้คำตอบสุดท้าย

ความคลาดเคลื่อนระบบและความคลาดเคลื่อนสุ่ม

ความคลาดเคลื่อนระบบ ทำให้ค่าการวัดทุกค่าเปลี่ยนแปลงไปในปริมาณและทิศทางเดียวกัน คุณไม่สามารถหาความคลาดเคลื่อนนี้ได้ด้วยการวัดซ้ำ สาเหตุทั่วไป:

• ความคลาดเคลื่อนศูนย์ (มาตรไม่แสดงศูนย์เมื่อค่าจริงเป็นศูนย์)
• ความคลาดเคลื่อนการปรับเทียบ (ตัวมาตรเองผิดเพี้ยน)
• พาราลักซ์ (ดวงตาของคุณอยู่ด้านข้างของมาตรเสมอ)

ความคลาดเคลื่อนระบบทำให้ความแม่นยำลดลง แต่ไม่ได้เปลี่ยนความละเอียด

ความคลาดเคลื่อนสุ่ม ทำให้ค่าการวัดกระโดดขึ้นลงเหนือและใต้ค่าจริงโดยไม่มีรูปแบบ สาเหตุรวมถึงความระมัดระวังในการอ่านมาตร สภาวะที่เปลี่ยนแปลง และขั้น最小的ของเครื่องมือที่แสดงได้ หากคุณวัดหลายครั้งและหาค่าเฉลี่ย (mean) ความคลาดเคลื่อนสุ่มจะหักล้างกันบางส่วน

ความคลาดเคลื่อนสุ่มทำให้ความละเอียดลดลง แต่ถ้ามีการวัดซ้ำเพียงพอ ค่าเฉลี่ยก็ยังคงมีความแม่นยำได้

บนกราฟ ความคลาดเคลื่อนทั้งสองชนิดดูแตกต่างกัน ความคลาดเคลื่อนระบบย้ายทุกจุดไปในปริมาณเดียวกัน ทำให้เส้นแนวโน้มคงความชันเดิมแต่ไม่ผ่านจุดกำเนิดอีกต่อไป: จุดตัดแกน (intercept) เปลี่ยนไป ความคลาดเคลื่อนสุ่มกระจายจุดเหนือและใต้เส้น; เส้นแนวโน้มที่วาดผ่านกึ่งกลางของการกระจายยังให้ความชันที่เชื่อถือได้

ความละเอียดและความถูกต้อง

ความละเอียด คือระดับที่ค่าการอ่านซ้ำๆ เข้าใกล้กันมากเพียงใด ค่าการอ่านที่มีความละเอียดสูงจะรวมตัวอยู่ใกล้กันมาก

ความถูกต้อง คือระดับที่ค่าการอ่าน (หรือค่าเฉลี่ยของการอ่านหลายครั้ง) เข้าใกล้กับค่าจริงเพียงใด

ชุดข้อมูลการอ่านสามารถเป็นได้:

• มีความละเอียดและถูกต้อง — เข้าใกล้กันและใกล้กับค่าจริง
• มีความละเอียดแต่ไม่ถูกต้อง — เข้าใกล้กัน แต่ห่างจากค่าจริง (เกิดจากความคลาดเคลื่อนแบบมีระบบ)
• ถูกต้องแต่ไม่มีความละเอียด — กระจายตัวกว้าง แต่ค่าเฉลี่ยใกล้เคียงกับค่าจริง
• ไม่มีอย่างใดอย่างหนึ่ง — กระจายตัวกว้างและห่างจากค่าจริง

เมื่อโจทย์ให้ตารางข้อมูลการอ่านซ้ำ ให้พิจารณา การกระจายตัว (ความละเอียด) และ ค่าเฉลี่ย (ความถูกต้อง) แยกต่างหาก

การประมาณค่าความคลาดเคลื่อนในการอ่าน

ก่อนจะนำความคลาดเคลื่อนมารวมกัน คุณต้องมีค่าความคลาดเคลื่อนที่เหมาะสมสำหรับแต่ละค่าการอ่านดิบ:

• ค่าการอ่านบนสเกลอะนาล็อก: ครึ่งหนึ่งของ หน่วยย่อย ที่เล็กที่สุด (ไม้บรรทัดเมตรอ่านได้ $1\ \text{mm}$ ดังนั้นค่าการอ่านหนึ่งครั้งคือ $\pm 0.5\ \text{mm}$) ความยาวต้องการค่าการอ่านสองครั้ง ที่ปลายแต่ละด้าน ดังนั้นความคลาดเคลื่อนของความยาวคือ $\pm 1\ \text{mm}$
• มัลติมิเตอร์ดิจิทัล: $\pm 1$ ในหลักตัวเลขสุดท้ายที่แสดง (นาฬิกาจับเวลาแสดงผล $2.47\ \text{s}$ คือ $\pm 0.01\ \text{s}$)
• การวัดด้วยมือจับเวลา: เวลาตอบสนอง ของคุณสำคัญมากกว่าหน้าจอ แสดงค่าประมาณ $\pm 0.1$ ถึง $0.2\ \text{s}$ และจับเวลาการสั่นหลายรอบแทนที่จะจับเวลาเพียงรอบเดียว เพื่อให้ความคลาดเคลื่อนเดียวกันถูกแบ่งปันระหว่างทุก ๆ รอบ
• ข้อมูลการอ่านซ้ำ: ความคลาดเคลื่อนคือ ครึ่งหนึ่งของช่วง (range) การจับเวลาสามครั้งได้ค่า $2.42$, $2.48$ และ $2.45\ \text{s}$ มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ $2.45\ \text{s}$ และมีช่วง برابرกับ $0.06\ \text{s}$ ดังนั้น $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$

จงเป็นจริงใจ หากขอบเงามองเห็นยาก ความคลาดเคลื่อนในตำแหน่งของมันอาจหลายมิลลิเมตร ไม่ว่าสเกลจะละเอียดแค่ไหน ผู้ประเมินจะไม่ยอมรับคำว่า "หน่วยย่อยที่เล็กที่สุด" เป็นความคลาดเคลื่อนสำหรับการอ่านที่ยาก

ความคลาดเคลื่อนในปริมาณที่ได้จากการคำนวณ

ค่าวัดมักเขียนในรูปแบบ $x \pm \Delta x$ ที่นี่ $\Delta x$ คือ ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ ส่วน ความคลาดเคลื่อนร้อยละ คือ

ปริมาณที่ได้จากการคำนวณ คือปริมาณที่คุณคำนวณจากค่าที่วัดได้ ความคลาดเคลื่อนของมันหาได้จากกฎพื้นฐาน:

• การบวกหรือลบ — บวกความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เข้าด้วยกัน ถ้า $y = a + b$ หรือ $y = a - b$, แล้ว $\Delta y = \Delta a + \Delta b$
• การคูณหรือหาร — บวกความคลาดเคลื่อนร้อยละเข้าด้วยกัน ถ้า $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, แล้ว
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• เลขชี้กำลัง — คูณความไม่แน่นอนเป็นเปอร์เซ็นต์ด้วยเลขชี้กำลัง หาก $y = a^{n}$ แล้วจะกลายเป็น $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

ตัวอย่างวิธีทำ เส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลวัดได้เป็น $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$ ปริมาตรของทรงกลมคือ $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, ดังนั้น $V \propto d^{3}$ ($V$ ขึ้นอยู่กับ $d$ ยกกำลังสาม)

ความคลาดเคลื่อนร้อยละใน $d$ คือ

เนื่องจาก $V \propto d^{3}$, ความคลาดเคลื่อนร้อยละใน $V$ จึงเป็นสามเท่าของค่านี้ ประมาณ $1.14\%$ ปริมาตรคือ $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$ ดังนั้นความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์คือ $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$ คำตอบสุดท้ายคือ $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$

ค่าสองค่าสอดคล้องกันหรือไม่? ข้อสอบปฏิบัติมักถามว่าค่าคงที่ที่คำนวณได้สองค่าสนับสนุนความสัมพันธ์ที่เสนอไว้หรือไม่ อย่าแค่บอกว่า "มันใกล้เคียงกัน" ให้คำนวณ ความแตกต่างร้อยละ ระหว่างมัน,

แล้วเปรียบเทียบกับความคลาดเคลื่อนร้อยละใน $k$ (หรือเกณฑ์ที่โจทย์กำหนด มักจะเป็น 10%) หากความแตกต่างน้อยกว่า ค่าทั้งสองสอดคล้องกันภายในขอบเขตความคลาดเคลื่อนและความสัมพันธ์นั้นได้รับการสนับสนุน หากมากกว่า ไม่สอดคล้องกัน

หลัก有意义的

เมื่อนำปริมาณที่คำนวณมาเขียน ให้ใช้ จำนวนหลักที่มีนัยสำคัญ เท่ากับค่าวัดที่มีความละเอียดน้อยที่สุดที่ใช้ — โดยทั่วไปคือสองหรือสามหลักตามหลักสูตรนี้ การมีหลักที่มีนัยสำคัญมากเกินไปทำให้คำตอบดูแม่นยำเกินความเป็นจริง การมีน้อยเกินไปจะทำให้สูญเสียข้อมูลที่มีประโยชน์

ข้อสอบปฏิบัติขอให้คุณ อธิบายเหตุผล ในการเลือกจำนวนนั้น ชื่อค่าการอ่านดิบ: "$a$ ให้มา 2 หลักที่มีนัยสำคัญ เพราะ $L$ และ $t$ ถูกวัดมา 2 หลักที่มีนัยสำคัญแต่ละค่า" การใช้ประโยค "เพราะข้อมูลดิบ" เพียงอย่างเดียวโดยไม่ระบุรายละเอียดจะไม่ได้รับคะแนน ในตารางผลลัพธ์ ให้ตัดสินแต่ละแถวจากค่าการอ่านดิบที่มีความละเอียดน้อยที่สุดในแถวนั้น; ไม่ต้องบังคับให้ทุกแถวมีจำนวนหลักเท่ากัน

ความคลาดเคลื่อนบนกราฟ

กระดาษข้อสอบ 5 ให้คุณนำความคลาดเคลื่อนไปต่อในกราฟ:

• วาดจุดแต่ละจุดพร้อม แถบความคลาดเคลื่อน ที่ความยาวแสดงถึงความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของค่านั้น
• วาด เส้นที่ใกล้เคียงที่สุด ผ่านจุดต่างๆ จากนั้นวาด เส้นที่ยอมรับได้最差: เส้นตรงที่มีความชันมากที่สุด (หรือน้อยที่สุด) ที่ยังคงตัดผ่านแถบความคลาดเคลื่อนทั้งหมด
• ความไม่แน่นอนของความชันคือผลต่างระหว่างความชันทั้งสอง $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$ ความไม่แน่นอนของจุดตัดสามารถหาได้โดยวิธีเดียวกัน
• เมื่อคุณวาดกราฟลอการิทึม ค่าความไม่แน่นอนสัมบูรณ์ใน $\ln x$ คือ $\Delta x / x$ (และใน $\lg x$ คือ $0.434\,\Delta x / x$) ให้คำนวณแยกสำหรับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ $x$

ความไม่แน่นอนเป็นเปอร์เซ็นต์ของความชันจะถูกนำไปใช้กับปริมาณใดๆ ที่คุณคำนวณจากมัน โดยใช้กฎข้างต้น

สเกลาร์ มีเพียงขนาดเท่านั้น เวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง

ตัวอย่างตามหลักสูตร:

• สเกลาร์: มวล, เวลา, อุณหภูมิ, พลังงาน, งาน, กำลัง, ระยะทาง, อัตราเร็ว, ความดัน, ความหนาแน่น, ประจุไฟฟ้า
• เวกเตอร์: การกระจัด, ความเร็ว, ความเร่ง, แรง (รวมถึงน้ำหนัก), โมเมนตัม

ทดสอบด่วน: หากสามารถถามได้ว่า "ไปทิศทางใด?" ปริมาณนั้นคือเวกเตอร์ คุณไม่สามารถถามได้ว่า "อุณหภูมิไปทิศทางใด?" ดังนั้นอุณหภูมิจึงเป็นสเกลาร์ คุณสามารถถามได้ว่า "ความเร็วไปทิศทางใด?" ดังนั้นความเร็วจึงเป็นเวกเตอร์

การบวกและลบเวกเตอร์

เวกเตอร์ถูกวาดด้วยลูกศร: ทิศทาง ของลูกศรแสดงถึงทิศทางของปริมาณ และ ความยาว ของลูกศร (วาดตามมาตราส่วน) แสดงถึงขนาด

ในการบวกเวกเตอร์ ระนาบเดียวกัน (เวกเตอร์อยู่ในระนาบราบเรียบเดียวกัน) ให้วาดให้ ปลายติดฐาน ผลลัพธ์ จะลากจากฐานของลูกศรตัวแรกไปยังปลายของลูกศรตัวที่สอง

ในการหา $\vec{X} - \vec{Y}$ ให้บวกกลับของ $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$ กลับของ $\vec{Y}$ มีขนาดเท่ากับ $\vec{Y}$ แต่ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม

หากเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน (90°) ขนาดของผลลัพธ์จะเป็น

และทิศทางของมันมาจาก $\tan\theta = Y / X$

ตัวอย่างทำโจทย์ นักว่ายน้ำว่ายน้ำไปทางเหนือที่ $1.2\ \text{m s}^{-1}$ ผ่านแม่น้ำที่ไหลไปทางตะวันออกที่ $0.5\ \text{m s}^{-1}$ จงหาขนาดและทิศทางของความเร็วรวม

ความเร็วทั้งสองตั้งฉากกัน ดังนั้น

ที่มุม $\tan\theta = 0.5/1.2$ ซึ่งจะได้ $\theta \approx 23°$ ทางตะวันออกของเหนือ

หากเวกเตอร์สองตัวมีขนาดเท่ากัน $F$ และมีมุม $2\alpha$ ระหว่างกัน ผลลัพธ์จะมีขนาด $2F\cos\alpha$ และอยู่บนเส้นที่แบ่งครึ่งมุมนั้น

ตัวอย่างทำโจทย์ แรงสองตัวขนาด $6.0\ \text{N}$作用于物体上有 $60°$ ระหว่างกัน จงหาผลลัพธ์

ในที่นี้ $2\alpha = 60°$ ดังนั้น $\alpha = 30°$ และ $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$ อยู่บนเส้นกึ่งกลางระหว่างแรงทั้งสอง การแยกองค์ประกอบก็ให้คำตอบเดียวกัน: แต่ละแรงมีองค์ประกอบ $6.0\cos 30°$ บนเส้นนั้น และองค์ประกอบที่ตั้งฉากกับมันจะหักล้างกัน

สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่มุมอื่นใด除了上述情况 ให้สร้าง ภาพวาดตามมาตราส่วน ของสามเหลี่ยมเวกเตอร์แล้ววัดผลลัพธ์ หรือแยกเวกเตอร์ทั้งสองออกเป็นองค์ประกอบตั้งฉาก แล้วบวกองค์ประกอบเหล่านั้น และนำกลับมารวมใหม่ด้วย $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$

ตัวอย่างทำโจทย์ ลูกบอลเคลื่อนที่ไปทางตะวันออกที่ $5.0\ \text{m s}^{-1}$ ถูกเตะจนเคลื่อนที่ไปทางเหนือที่ $5.0\ \text{m s}^{-1}$ จงหาการเปลี่ยนแปลงความเร็ว

การเปลี่ยนแปลงความเร็วคือการลบเวกเตอร์: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$ วาด $5.0\ \text{m s}^{-1}$ ชี้เหนือ จากนั้นบวกกลับของความเร็วเริ่มต้น $5.0\ \text{m s}^{-1}$ ชี้ตะวันตก ทั้งสองตั้งฉากกัน ดังนั้น $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$ ชี้ทางตะวันตกเฉียงเหนือ ความเร็วไม่ได้เปลี่ยนแต่ความเร็วเปลี่ยนไป นั่นคือเหตุผลที่ต้องมีแรงกระทำต่อลูกบอล (หัวข้อ 3)

การแยกเวกเตอร์ออกเป็นองค์ประกอบตั้งฉาก

เวกเตอร์ใดๆ สามารถแยกออกเป็นสอง องค์ประกอบตั้งฉาก (ตั้งฉากกัน) ได้ มักจะเป็น แนวนอน และ แนวตั้ง หรือตามและขวางพื้นผิว สำหรับเวกเตอร์ $\vec{v}$ ที่ทำมุม $\theta$ กับแนวนอน:

เลือกทิศทางที่ทำให้ปัญหาง่ายที่สุด บนทางลาด (ระนาบเอียง) ให้แยกน้ำหนักออกเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งตามทางลาดและอีกส่วนหนึ่งตั้งฉากกับมัน:

เมื่อ $\theta$ เป็นมุมของพื้นเอียงเทียบกับแนวนอน

คุณแยกเวกเตอร์ออกเป็นส่วนประกอบทุกครั้งที่ต้องการทราบว่าส่วนหนึ่งของมันกระทำในทิศทางใด ตัวอย่างเช่น: ส่วนของแรงที่กระทำตามแนวพื้นเอียง หรือส่วนประกอบแนวนอนและแนวตั้งของความเร็วลูกบอลหลังจากถูกโยนไป

คำถามคำนิยามจะให้คะแนนตามข้อความที่กำหนดไว้你必须 exact. เรียนรู้ให้ถูกต้องและตอบเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น

• ให้ทุกคำตอบมี หน่วย และตรวจสอบ ความเป็นเอกภาพ — ทั้งสองฝั่งของสมการต้องมีหน่วยพื้นฐานเดียวกัน
• แยกแยะ ความคลาดเคลื่อนแบบสุ่ม (ลดได้ด้วยการทำซ้ำและหาค่าเฉลี่ย) ออกจาก ความคลาดเคลื่อนแบบมีระบบ (เป็นความคลาดเคลื่อนศูนย์หรือการปรับเทียบซึ่งการทำซ้ำไม่อาจขจัดได้)
• รวมความไม่แน่นอน: บวกความไม่แน่นอนสัมบูรณ์ เมื่อบวก/ลบ, บวกความไม่แน่นอนเปอร์เซ็นต์ เมื่อคูณ/หาร (และคูณ % ด้วยเลขชี้กำลังใดๆ)
• แยกแยะ ความละเอียด (การกระจายตัวน้อย) ออกจาก ความแม่นยำ (ใกล้กับค่าจริง)
• แยกเวกเตอร์ออกเป็นส่วนประกอบที่ตั้งฉากกัน ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$); บวกเวกเตอร์ปลายติดต้นหรือใช้วิธีแยกส่วนประกอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• การแทนค่า 5 cm เป็น 5, หรือ 20 g เป็น 20 ควรแปลงพรีфикซ์ก่อน: 0.05 m, 0.020 kg
• การให้ค่าความไม่แน่นอนเปอร์เซ็นต์ใน $T^{2}$ เท่ากับใน $T$ การยกกำลังสองจะทำให้เพิ่มขึ้นสองเท่า; การรากที่สองจะทำให้ลดลงครึ่งหนึ่ง
• การ treating ค่าความไม่แน่นอนเปอร์เซ็นต์และความไม่แน่นอนสัมบูรณ์เป็นตัวเลขเดียวกัน
• การอ้างว่า "สเกลเล็กสุด" เป็นความไม่แน่นอนของการอ่านค่าที่ยากต่อการวัด
• การเสนอคำตอบสำหรับนิยามสองแบบ ควรเลือกเพียงข้อเดียว