Доверительный интервал для разности средних
| English | Русский |
|---|---|
| paired/peəd/ | парных |
| independent samples/ˌɪndɪˈpendənt ˈsæmplz/ | независимые выборочные наборы |
Пара перед вычислением неопределенности
- У одних и тех же трех бегунов есть время до/после (12,10), (15,12) и (11,10) минут. Вычитайте из «до» «после».
- Парные разницы составляют 2, 3 и 1 минут, что дает среднюю разницу 2. Единицы наблюдения для этого анализа — три пары, а не шесть независимых измерений.
Независимые или парные?
- Сравнение двух средних начинается с одного ключевого вопроса о дизайне. Независимые выборки: две разные группы (например, группа лечения против контрольной).
- Парные (сопоставленные пары): два измерения у тех же самых или сопоставленных субъектов (до/после). Дизайн определяет используемую процедуру — сначала убедитесь, что она выбрана верно.
Интервал для разности двух средних
- Для независимых выборок используйте двухвыборочный $t$-интервал для $\mu_1 - \mu_2$: $$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^{*}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$$
- Дисперсии складываются под корнем (дисперсия каждой группы, $\frac{s^2}{n}$). Проверьте случайность дизайна, независимость между группами, условие 10% при выборке без возвращения и форму распределения данных в каждой группе.
Парный интервал
- Для парных данных сначала вычислите разницу $d = x_1 - x_2$ для каждой пары. Затем проведите одновыборочный $t$-интервал для разниц:
- $$\bar{d} \pm t^{*}\frac{s_d}{\sqrt{n}}$$$n$ — это количество пар; $df = n - 1$. Проверьте случайность дизайна и независимость между парами, а также осмотрите разницы на наличие асимметрии/выбросов.
Измерение одних и тех же бегунов до и после тренировок — это какой дизайн?
Одни и те же субъекты измеряются дважды → парные данные.
Для парных данных правильный интервал — это...
Сведите пары к разностям, затем примените одновыборочный t-метод.
Для двухвыборочного t-интервала две дисперсии складываются под корнем.
SE = √(s1²/n1 + s2²/n2).
Анализ парных данных как двух независимых выборок даёт верную стандартную ошибку.
It ignores dependence within pairs. The resulting standard error need not always be larger; analyse the paired differences.
Ключевой вопрос, определяющий процедуру, звучит так...
Связанные → парные; несвязанные → двухвыборочные.
Сопоставьте дизайн с проверкой формы, проведите t-анализ.
Парный анализ работает с разностями как с наблюдениями. Маргинально нормальное распределение групп автоматически не гарантирует подходящего распределения разностей.
Что необходимо для парного t-анализа?
Внутривыборочная зависимость является причиной использования разностей. Независимость требуется между наблюдательными парами.
Подберите метод к дизайну
- Парные данные, проанализированные как две независимые выборки → неправильная стандартная ошибка, неправильный ответ. Независимые данные, принудительно помещенные в парный тест → тоже неверно.
- Признак: связано ли каждое значение в группе $1$ естественным образом со значением в группе $2$? Если да → парные; если нет → двухвыборочный тест.
Дизайн исследования диктует процедуру. Если субъекты сопоставлены или измеряются дважды (до/после), это связанные данные — сводите их к разностям и используйте одновыборочный доверительный интервал для $t$. Если две группы независимы и не связаны, это двухвыборочный доверительный интервал для $t$. Применение формулы двухвыборочного теста к связанным данным игнорирует зависимость внутри пар и обычно приводит к неверному стандартному отклонению. Направление ошибки зависит от соотношения внутри пар.
Измерьте время каждого бегуна до и после тренировок.
- Те же бегуны, два измерения → парные.
- Вычислите разности $d = \text{before} - \text{after}$ для каждого бегуна.
- Постройте одновыборочный $t$-интервал по разностям $d$ (а не двухвыборочный интервал).
Перенесите рассуждения на новый случай
- Парная стандартная ошибка использует вариабельность разниц.
- Игнорирование парности не всегда увеличивает стандартную ошибку; её эффект зависит от связи внутри пары.
For the three stated pairs, compute the mean before-minus-after difference in minutes.
The differences 2, 3 and 1 sum to 6, so the mean across three pairs is 2.
Сравнение двух средних: независимые выборки используют двухвыборочный $t$-интервал $(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^{*}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$; парные данные сводятся к разностям и используют одновыборочный $t$-интервал $\bar{d} \pm t^{*}\frac{s_d}{\sqrt{n}}$. Подберите метод к дизайну, проверяя условия для обеих групп.