Обоснование утверждения о среднем
Интервал для среднего не описывает большинство отдельных объектов
- Действительный интервал на 95% для средней массы яблок составляет (145.9, 154.1) граммов. Утверждение, что средняя масса равна 150 г, совместимо с этим интервалом.
- Интервал не говорит, что 95% отдельных яблок весят в этом диапазоне. Индивидуальные массы могут быть гораздо более разбросанными, чем неопределенность их среднего значения.
Интерпретация интервала для среднего
- Скажите правильно: «Мы уверены на $95\%$ в том, что истинное среднее $\mu$ лежит между концами». Назовите популяцию и то, что измеряет $\mu$, с единицами измерения, в контексте.
- Интервал представляет собой диапазон правдоподобных значений для среднего значения популяции. Это касается $\mu$, а не отдельного значения данных.
Что означает уровень доверия
- Уровень доверия описывает метод при множестве выборок — а не один конкретный интервал. «Уверены на $95\%$%» = относительно $95\%$ интервалов, построенных таким образом, которые захватят $\mu$.
- Один конкретный интервал либо содержит $\mu$, либо нет; мы не знаем какой. Это не «вероятность $95\%$, что $\mu$ находится в этом интервале».
Корректный 95% интервал оценивает среднюю массу яблок в популяции. Какие интерпретации обоснованы?
Отделяйте фиксированную среднюю величину популяции, отдельные наблюдения и метод повторного отбора данных друг от друга.
Обоснование утверждения
- Чтобы проверить предполагаемое среднее (например, $\mu = 100$): находится ли оно внутри интервала? Внутри → это значение правдоподобно; его нельзя отвергнуть.
- Снаружи → интервал служит доказательством против этого утверждения. Интервал отвечает на вопрос: «Вероятно ли это предполагаемое среднее?»
95%-ный доверительный интервал для среднего равен (145,9; 154,1). Утверждение μ = 160 является...
160 вне интервала →的证据 против него.
'95%-ная уверенность' означает, что вероятность того, что μ находится именно в этом интервале, составляет 95%.
μ фиксирован; уверенность описывает метод при многих выборках.
При неизменных выборочном стандартном отклонении и уровне доверия увеличение n делает t-интервал...
Большее n → меньшая SE → более узкий интервал.
Заявленное среднее внутри доверительного интервала правдоподобно и не может быть исключено.
Внутри → согласуется с данными.
При неизменных n и уровне доверия большее выборочное стандартное отклонение делает t-интервал...
Большее s → большая SE → более широкий интервал.
Доверительный интервал равен (145.9, 154.1) г. Какова погрешность этого интервала в граммах?
Половина ширины интервала равна (154.1 - 145.9)/2 = ⟨4.1⟩ г.
Что влияет на ширину
- Больший объем выборки при фиксированных выборочном СКО и уровне доверия → уже интервал (меньше СЕ, и $t^{*}$ сужается к $z^{*}$). Более высокий уровень доверия → шире интервал (больший $t^{*}$).
- Более изменчивые данные (большее $s_x$) → более широкий интервал. Увеличение $n$ может компенсировать расширение от повышения уровня доверия; этот эффект необходимо проверить.
«Доверительный интервал $95\%$» описывает метод, а не один интервал. Никогда не говорите, что «$\mu$ имеет вероятность $95\%$ оказаться внутри $(145.9, 154.1)$» — $\mu$ фиксировано, поэтому оно либо внутри, либо снаружи. Правильная идея: среди $95\%$ интервалов, построенных таким образом, через повторные выборки, $\mu$ содержат истинное значение. Это та же логика пропорции-интервала, но примененная к среднему значению.
Доверительный $95\%$ интервал для среднего веса яблок составляет $(145.9,\ 154.1)$ г.
- Интерпретация: мы уверены на $95\%$, что истинный средний вес находится между $145.9$ и $154.1$ г.
- Утверждение «среднее равно $160$ г.»? Значение $160$ находится снаружи → доказательства против него.
- Утверждение «среднее равно $150$ г.»? Значение $150$ находится внутри → правдоподобно.
Перенесите рассуждения на новый случай
- При фиксированном выборочном СКО и уровне доверия увеличение n уменьшает стандартную ошибку.
- Стандартное отклонение может меняться в разных выборках, поэтому «уже» не является безусловной гарантией.
Match each quantity to the relevant interpretation.
Keep the population mean, method coverage and individual values separate.
Интерпретируйте доверительный интервал для среднего как «мы уверены на $95\%$, что $\mu$ находится между границами», где уровень доверия описывает метод при повторных выборках. Значение снаружи является доказательством против этого утверждения. Большее $n$ сужает интервал; более высокий уровень доверия (или более вариабельные данные) расширяют его.