Доверительный интервал для p
| English | Русский |
|---|---|
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | доверительный интервал |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | стандартная ошибка |
| margin of error/ˈmɑːdʒɪn ɒv ˈerə/ | предел погрешности |
| confidence level/ˈkɒnfɪdəns ˈlevl/ | уровень доверия |
Насколько точны шестидесять из ста?
- В вымышленной случайной выборке из 100 клиентов 60 поддерживают новую услугу хранения. Нам нужен доверительный интервал для доли поддержки в генеральной совокупности.
- Наблюдаемая оценка составляет $\hat p=0.60$. Интервал должен описывать клиентов в выборочной совокупности, а не долю в каждой будущей выборке.
Проверка перед оценкой неопределённости
- Проверьте случайную выборку, $100\le0.10N$ для выборки без возвращения и наблюдаемые подсчёты 60 и 40. Каждый подсчёт составляет не менее десяти.
- Стандартная ошибка оценивает вариативность выборки с использованием $\hat p$, поскольку доля генеральной совокупности неизвестна.
Match each sample with the large-counts decision.
Both observed counts must be at least ten for the normal interval used here.
Построение оценки плюс или минус неопределённость
- Используйте формулу $\hat p\pm z^*SE$ со $SE=\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$. 95% нормальный интервал использует $z^*=1.96$.
- Здесь $SE=\sqrt{0.60(0.40)/100}\approx0.04899$. Сохраняйте эти дополнительные цифры до тех пор, пока не будут рассчитаны границы.
n = 100, p̂ = 0,60. Вычислите стандартную ошибку √(p̂(1−p̂)/n). Два знака.
√(0.6·0.4/100) = √0.0024 ≈ 0.049 ≈ 0.05.
Доверительный интервал имеет вид...
Вы должны умножить SE на критическое значение z*.
Для 95%-ного доверительного интервала какое критическое значение z* вы используете? (два знака)
z* = 1,96 для 95%-ного доверительного уровня.
Расчёт границ
- Погрешность составляет $ME=z^*SE=1.96(0.04899)\approx0.09602$. Интервал равен $(0.50398,0.69602)$.
- Уровень доверия описывает метод повторных выборок. Заштрихованная область нормального распределения при $\pm1.96$ составляет примерно 0.95; это не график индивидуальных ответов клиентов.
Ширина интервала составляет примерно 0.1920, тогда как погрешность — примерно 0.0960. Не указывайте всю ширину как погрешность.
Нормальная справочная область для 95% интервалов
Диапазон от -1.96 до 1.96 содержит приблизительно 95% стандартного нормального распределения. Эта справочная область не является вероятностью, присвоенной уже наблюдаемому интервалу генеральной совокупности.
При SE ≈ 0,049 и z* = 1,96, найдите предельную ошибку z*·SE. Два знака.
1.96 × 0.049 ≈ 0.096 ≈ 0.10.
Изменение одного фактора за раз
- При той же наблюдаемой доле и уровне доверия увеличение $n$ в четыре раза уменьшает $SE$ и погрешность вдвое. Повышение уровня доверия увеличивает $z^*$ и расширяет интервал.
- Эти сравнения ширины сохраняют остальные входные данные неизменными. Новая выборка также может изменить $\hat p$, поэтому наблюдаемая ширина может не точно соответствовать правилу размера выборки.
Девяносто пять процентов доверия не означают, что 95% отдельных клиентов находятся внутри интервала для p.
Повышение уровня доверия (например, 95% → 99%) делает интервал...
Более высокий уровень доверия → большее z* → шире интервал.
После расчета этого интервала вероятность того, что фиксированная доля генеральной совокупности находится внутри него, составляет 95%.
Частотная интерпретация доверительного интервала описывает долгосрочную частоту покрытия процедуры, а не вероятность, присвоенную фиксированному параметру после наблюдения данного интервала.
Интерпретация оценки в контексте
- Мы на 95% уверены, что от 50.4% до 69.6% клиентов в выборочной совокупности поддерживают эту услугу, используя данную проверенную процедуру.
- Интервал охватывает выборочную неопределенность, а не все источники ошибок. Неполный ответ, неточные вопросы и смещение отбора требуют отдельного внимания.
Мы уверены на 95%, что от 50.4% до 69.6% клиентов в выборке поддерживают услугу, используя эту проверенную процедуру.
При фиксированном наблюдаемом значении доли, что сужает нормальный доверительный интервал?
Больше наблюдений уменьшают стандартную ошибку; снижение уровня доверия уменьшает критическое значение. Увеличение n в четыре раза уменьшает стандартную ошибку вдвое.