Сводные статистики для количественной переменной
| English | Русский |
|---|---|
| mean/miːn/ | среднее значение |
| median/ˈmiːdiːən/ | медианой |
| Range/reɪndʒ/ | Размах |
| Standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | Стандартное отклонение |
| resistant/rɪˈzɪstənt/ | устойчивый |
Числа, обобщающие данные
- График показывает форму; сводные статистики сводят распределение к нескольким ключевым числам.
- Две задачи: измерить центр (типичное значение) и разброс (насколько оно вариабельно).
- Какие числа использовать, зависит от формы — особенно от наличия выбросов.
- Эти сводные показатели являются основой любого последующего вывода.
Меры центра
- Среднее арифметическое $\bar{x}$ — это среднее арифметическое: сложите все значения, разделите на их количество.
- Медиана — это средний значение, когда данные отсортированы (среднее двух средних, если их четное количество).
- Для симметричного распределения они близки; для асимметричного — различаются.
- Среднее арифметическое смещается в сторону длинного хвоста; медиана остается на месте.
Центр и разброс данных
Среднее и медиана отмечают центр; диапазон, межквартильный размах и стандартное отклонение измеряют разброс.
Найдите медиану для $4, 5, 6, 7, 100$.
Среднее значение упорядоченных данных равно $6$.
В $4,5,6,7,100$ среднее ($24.4$) тянется вверх из-за значения $100$.
Среднее чувствительно к экстремальным значениям.
Меры разброса
- Диапазон = максимум − минимум (простой, но чувствительный к экстремальным значениям).
- IQR (межквартильный размах) $=Q_3-Q_1$ — разброс средних $50\%$.
- Стандартное отклонение $s_x$ — типичное расстояние значений от среднего арифметического.
- Большие числа разброса означают большую вариабельность.
Для набора данных со значениями $Q_1=5$ и $Q_3=7$ найдите IQR.
$\text{IQR}=Q_3-Q_1=7-5=2$.
Устойчивость против чувствительности
- Медиана и IQR являются устойчивыми — выбросы почти не сдвигают их.
- Среднее арифметическое и стандартное отклонение являются чувствительными — одно экстремальное значение может сильно сдвинуть их.
- Поэтому для асимметричных данных или данных с выбросами сообщайте медиану и IQR.
- Правило выброса: значение является выбросом, если оно ниже $Q_1-1.5\times\text{IQR}$ или выше $Q_3+1.5\times\text{IQR}$.
Какие меры устойчивы к выбросам?
Медиана и IQR устойчивы к выбросам; среднее и SD — нет.
По правилу $1.5\times\text{IQR}$, любой выброс считается высоким, если значение превышает...
Меры от квартиля: $Q_3+1.5\,\text{IQR}$.
Для сильно скошенных данных лучшее сводное описание центра/разброса — это...
Устойчивые меры подходят для скошенных данных.
Соотнесите сводку с формой: для асимметричных данных или выбросов используйте устойчивую медиану и IQR — среднее арифметическое и стандартное отклонение смещаются под воздействием экстремумов. А $1.5\times\text{IQR}$ правило измеряет от квартилей ($Q_1,Q_3$), а не от среднего: отметьте значения ниже $Q_1-1.5\,\text{IQR}$ или выше $Q_3+1.5\,\text{IQR}$.
Данные: $4, 5, 6, 7, 100$.
- Среднее арифметическое $=\tfrac{4+5+6+7+100}{5}=24.4$ (завышено из-за $100$). Медиана $=6$ (не затронута).
- Медиана ($6$) лучше представляет типичное значение здесь.
- При $Q_1=5$, $Q_3=7$, $\text{IQR}=2$: $100>7+1.5(2)=10$, поэтому $100$ является выбросом.
Обобщите центр с помощью среднего арифметического $\bar{x}$ или медианы, а разброс — с помощью диапазона, IQR $=Q_3-Q_1$ или стандартного отклонения $s_x$. Медиана и IQR устойчивы к выбросам; среднее арифметическое и SD нет — предпочитайте их для асимметричных данных. Отмечайте выбросы с помощью $1.5\times\text{IQR}$ правила.