Объем методом шайб: Вращение вокруг оси x или y
| English | Русский |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | кольцо (шайба) |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | метод колец (шайб) |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | внутренний радиус |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | внешний радиус |
Диск с отверстием внутри
- Когда вы вращаете область, имеющую разрыв между двумя кривыми, каждый срез — это не сплошной диск, а кольцо.
- Это кольцо (диск с выбитым круглым отверстием) называется методом колец (или методом шайб).
- Его площадь равна площади большого круга минус площадь малого: $\pi R^2-\pi r^2$.
- Суммирование таких колец составляет метод колец.
Шайба (вместо диска) появляется, когда...
Зазор оставляет отверстие → шайба.
Внешний радиус минус внутренний
- У каждого кольца есть внешний радиус $R$ (до дальней кривой) и внутренний радиус $r$ (до ближней кривой).
- Его площадь равна $\pi\big(R^2-r^2\big)$, поэтому:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- При вращении вокруг оси $x$, значения $R$ и $r$ — это расстояния от двух кривых до оси.
Две кривые образуют кольцо
y = ax² + bx
Между $y=x$ и $y=\sqrt x$ есть зазор от оси — вращение создает шайбы с внешним $\sqrt x$, внутренним $x$.
Объем методом шайб равен...
Большой круг минус маленький круг: $\pi(R^2-r^2)$.
В кольце (метод шайб) $R$ — это ____ радиус (до дальней кривой), а $r$ — внутренний радиус.
Внешний до дальней кривой, внутренний до ближайшей кривой.
Определение $R$ и $r$
- $R$ (внешний) берётся от кривой, расположенной дальше от оси; $r$ (внутренний) — от ближней кривой.
- Вращение области между $y=f(x)$ (верхней) и $y=g(x)$ (нижней) вокруг оси $x$: радиусы $R=f(x)$ и $r=g(x)$.
- Отверстие существует потому, что нижняя кривая не достигает оси.
- Возводите каждый радиус в квадрат отдельно перед вычитанием.
При вращении области между $y=\sqrt x$ (верхней) и $y=x$ (нижней) вокруг оси $x$ внешний радиус равен...
Кривая, расположенная дальше от оси, $\sqrt x$, является внешним радиусом.
Сначала возведите в квадрат, затем вычтите
- Площадь равна $\pi(R^2-r^2)$, а не $\pi(R-r)^2$ — возведите каждый радиус в квадрат перед вычитанием.
- Использование выражения $(R-r)^2$ ошибочно включит удвоенное произведение и даст неверный объём.
- Поэтому вычислите квадраты $R^2$ и $r^2$ по отдельности, вычтите их, затем проинтегрируйте и умножьте на $\pi$.
- Это самая распространённая ошибка при использовании метода колец.
Подынтегральное выражение метода шайб $R^2-r^2$ такое же, как и $(R-r)^2$.
Сначала возведите каждый радиус в квадрат; $(R-r)^2$ неверно.
Для $R=\sqrt x$, $r=x$ на $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
Подынтегральное выражение для колец равно $R^2-r^2$, а не $(R-r)^2$ — возводите радиусы в квадрат перед вычитанием. И различайте $R$ (внешний, до дальней кривой) и $r$ (внутренний, до ближней кривой); перестановка их мест или использование формулы $(R-r)^2$ приведёт к неверному объёму. Кольцо появляется только тогда, когда разрыв отделяет область от оси.
Вращайте область между $y=x$ (нижняя граница) и $y=\sqrt x$ (верхняя граница) на интервале $[0,1]$ вокруг оси $x$.
- Внешний радиус $R=\sqrt x$, внутренний радиус $r=x$ (по $[0,1]$, относительно оси $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
Метод колец вращает область с разрывом, образуя кольца: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, где $R$ — внешний радиус (дальняя кривая), а $r$ — внутренний радиус (ближняя кривая). Возводите каждый радиус в квадрат перед вычитанием — используйте $R^2-r^2$, никогда не $(R-r)^2$.