Объем методом шайб: Вращение вокруг других осей
| English | Русский |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | внешний |
| inner/ˈɪnə/ | внутренней |
Кольца вокруг смещённой линии
- Последний элемент: вращение области, ограниченной двумя кривыми, вокруг прямой, которая не является осью $x$ или $y$.
- Объедините две изученные концепции: кольца (разрыв → кольцо) и смещённую ось (скорректируйте радиус).
- Формула остаётся прежней: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$; изменяются только $R$ и $r$, которые пересчитываются до новой линии.
- Правильно определите оба расстояния, и вычисления будут стандартными.
Оба радиуса отсчитываются до новой оси
- Для горизонтальной оси $y=k$: радиусы определяются через $R=|\text{far curve}-k|$ и $r=|\text{near curve}-k|$.
- Каждый радиус — это расстояние от своей кривой до смещённой прямой, а не до оси $y=0$.
- Внешний радиус идёт до кривой, расположенной дальше от оси; внутренний — до nearer (ближней).
- Затем вычислите $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ обычным способом.
Две кривые над смещенной осью
y = ax² + bx
При вращении вокруг $y=-1$ оба радиуса увеличиваются на $1$: внешний $\sqrt x+1$, внутренний $x+1$; по-прежнему $R^2-r^2$.
При вращении области между $y=\sqrt x$ и $y=x$ вокруг $y=-1$, внешний и внутренний радиусы равны...
Сдвиньте оба радиуса на $+1$ вниз до $y=-1$.
Для смещенной оси необходимо повторно измерить ____ радиусы (внешний и внутренний) до новой линии.
Сдвиньте оба, а не только один.
Следите за тем, какая кривая стала farther
- Смещение оси может поменять местами, какая кривая является внешней, а какая внутренней — обязательно проверьте это после перемещения линии.
- Вращение вокруг линии ниже области: нижняя кривая теперь является внутренней (ближе к оси).
- Вращение вокруг линии выше области: роли меняются местами.
- Всегда определяйте внешнюю/внутреннюю часть относительно фактической оси вращения.
После смещения оси вам следует...
Положение оси может поменять местами роли внешнего и внутреннего радиусов.
По-прежнему: сначала возведите в квадрат радиусы
- Как и при использовании любого диска, вычтите $R^2-r^2$ — возведите в квадрат (сдвинутые) радиусы до вычитания.
- Никогда не используйте $(R-r)^2$ и никогда не применяйте исходные радиусы относительно простой оси.
- Нарисуйте два отрезка расстояния от оси до каждой кривой, чтобы не запутаться.
- Затем проинтегрируйте по соответствующей переменной.
Даже при смещенной оси подынтегральное выражение шайбы остается $R^2-r^2$, а не $(R-r)^2$.
Всегда возводите каждый радиус в квадрат перед вычитанием.
Объем для $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ на $[0,1]$ вокруг $y=-1$ равен...
$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
Метод шайб со смещением объединяет какие две идеи?
Метод колец (промежуток → кольцо) со сдвинутой радиусом.
Два совмещенных риска здесь: (1) сдвиньте оба радиуса к новой оси (а не только один) и (2) все равно используйте $R^2-r^2$, а не $(R-r)^2$. После сдвига перепроверьте, какая кривая является внешней — положение оси может поменять их местами. Эскизируйте оба отрезка радиусов к фактической линии перед возведением в квадрат.
Вращайте область между $y=\sqrt x$ (верх) и $y=x$ (низ) на $[0,1]$ вокруг линии $y=-1$.
- Сдвиньте оба радиуса вниз к $y=-1$: внешний $R=\sqrt x+1$, внутренний $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
Метод дисков для оси со сдвигом: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, но пересчитайте оба внешнего и внутреннего радиуса до этой линии (например, добавьте сдвиг для $y=k$ ниже области). Перепроверьте, какая кривая является внешней, и всегда возводите каждый радиус в квадрат до вычитания — никогда не $(R-r)^2$.