Объем методом дисков: Вращение вокруг других осей
Вращение вокруг смещённой линии
- Что, если вы вращаете область не вокруг оси координат, а вокруг прямой, например $y=-1$ или $x=3$?
- Метод дисков по-прежнему работает — вам нужно лишь измерить радиус от кривой до этой смещённой оси.
- Формула $V=\pi\int R^2$ остаётся без изменений; необходимо скорректировать только $R$.
- Правильно определить радиус — это вся суть задачи.
Радиус = расстояние до новой оси
- Вращение вокруг горизонтальной линии $y=k$: радиус равен вертикальному расстоянию $R=|f(x)-k|$.
- Вращение вокруг вертикальной линии $x=k$: радиус равен горизонтальному расстоянию $R=|g(y)-k|$.
- Вычтите значение оси из значения кривой (в соответствующей переменной), чтобы получить расстояние.
- Затем возведите в квадрат, умножьте на $\pi$ и проинтегрируйте, как обычно.
Кривая над смещенной осью
y = a·√x
Вращение вокруг $y=-1$ делает так, что радиус простирается от кривой вниз до этой линии — $R=f(x)+1$, больше чем $f(x)$.
При вращении $y=f(x)$ вокруг линии $y=-1$ радиус равен...
Расстояние от $f(x)$ вниз до $y=-1$ равно $f(x)-(-1)=f(x)+1$.
При вращении вокруг $y=k$ (ниже области), радиус кривой $f(x)$ равен...
Значение кривой минус значение оси: $f(x)-k$.
При вращении вокруг вертикальной линии $x=k$ радиус — это ____ расстояние $|g(y)-k|$.
Для вертикальной оси измеряйте горизонтально.
Ось ниже области
- Если ось $y=k$ находится ниже области, то кривая расположена выше неё, поэтому радиус равен $R=f(x)-k$ (положительное расстояние).
- Пример: при вращении вокруг оси $y=-1$ кривой на высоте $f(x)$ радиус составит $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- «$+1$» — это дополнительное расстояние вниз до смещённой оси.
- Всегда рисуйте это: радиус идёт от кривой до оси.
Если ось $y=3$ находится выше области (кривая $f(x)<3$), то радиус равен...
Расстояние равно оси минус кривая: $3-f(x)$ (положительный зазор).
Не используйте радиус для обычной оси
- Самая частая ошибка — забыть о сдвиге: использование $R=f(x)$, когда ось координат смещена на $y=-1$.
- Это приведёт к занижению радиуса на величину смещения и даст неверный (слишком маленький) объём.
- Перепишите радиус как (значение кривой) $-$ (значение оси) каждый раз, когда ось не совпадает со $y=0$ или $x=0$.
- Чертеж отрезка расстояния предотвратит эту ошибку.
При вращении вокруг $y=-1$ вы все еще можете использовать радиус $R=f(x)$.
Вы должны сместить: $R=f(x)+1$.
Вращение $y=\sqrt x$ на $[0,4]$ вокруг $y=-1$ дает радиус $\sqrt x+1$, значит $V=$
$\pi\int_0^4(x+2\sqrt x+1)\,dx=\pi(8+\tfrac{32}{3}+4)=\tfrac{68\pi}{3}$.
Для смещённой оси радиус — это расстояние от кривой именно до этой линии, например $R=f(x)-k$ для $y=k$ — а не просто $f(x)$. Вращение вокруг $y=-1$ делает радиус больше (добавьте $1$); вращение вокруг $y=3$ над областью делает его $3-f(x)$. Всегда измеряйте расстояние до правильной оси перед возведением в квадрат.
Вращайте область между $y=\sqrt x$ и линией $y=-1$ по $[0,4]$ вокруг оси $y=-1$. (Область спускается до оси, поэтому каждый срез образует сплошной диск — без отверстия.)
- Радиус идёт от кривой вниз до $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
Метод дисков для смещённой оси сохраняет множитель $V=\pi\int R^2$, но радиус — это расстояние от кривой до этой линии: $R=f(x)-k$ для $y=k$ или $g(y)-k$ для $x=k$. Скорректируйте $R$ на смещение (ось ниже области увеличивает радиус); никогда не используйте радиус для обычной оси.