Объем методом дисков: Вращение вокруг оси x или y
| English | Русский |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | диск |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | метод дисков |
Вращение области вокруг оси
- Возьмите область, вращайте её вокруг оси, и она опишет тело вращения.
- Разрежьте перпендикулярно оси, и каждый срез будет тонким диском (монеткой).
- Сложите объемы дисков: это метод дисков.
- Это формула поперечного сечения с круглыми срезами.
Каждый срез в методе дисков представляет собой...
Вращение образует круглые диски.
Формула диска
- Каждый диск представляет собой окружность радиуса $R$ и толщиной $dx$, поэтому его объем равен $\pi R^2\,dx$.
- Если область между $y=R(x)$ и осью вращается вокруг оси $x$:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- Радиус $R(x)$ — это расстояние от кривой до оси вращения — здесь он просто равен $f(x)$.
Профиль, который вращается, образуя диски
y = a·√x
Вращение $y=\sqrt x$ вокруг оси $x$ складывает диски радиуса $\sqrt x$ — объем $\pi\int R^2\,dx$.
При вращении $y=R(x)$ вокруг оси $x$ объем равен...
Каждый диск имеет объем $\pi R^2\,dx$.
Вращение вокруг оси y
- Вращать вокруг оси $y$? Сделайте горизонтальные срезы и выразите радиус через $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- Теперь $R(y)$ — это горизонтальное расстояние от кривой $x=g(y)$ до оси $y$.
- Та же формула, но интегрирование ведется по $y$, а радиус измеряется по горизонтали.
В методе дисков радиус $R$ — это ____ расстояние от кривой до оси вращения.
Радиус = расстояние до оси.
При вращении вокруг оси $y$ вы интегрируете по $y$, используя...
Соотнесите переменную с осью: ось $y$ → $R(y)$, интегрируйте по $y$.
Радиус — это расстояние
- Ключевой навык: правильно определить $R$ как расстояние от кривой до оси.
- При вращении вокруг оси $x$ кривая $y=f(x)$ дает радиус $R=f(x)$ (ее высоту).
- При вращении вокруг оси $y$ кривая $x=g(y)$ дает радиус $R=g(y)$.
- Возведите радиус в квадрат, умножьте на $\pi$ и проинтегрируйте вдоль оси.
Вращение $y=\sqrt x$ на $[0,4]$ вокруг оси $x$ ($R^2=x$) дает $V=$
$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
Метод дисков включает множитель $\pi$ и возводит радиус в квадрат.
$V=\pi\int R^2$.
Не забудьте множитель $\pi$ и возведение в квадрат — метод дисков использует формулу $\pi\int R^2$, а не $\int R$. Также согласуйте переменную интегрирования с осью: вращение вокруг оси $x$ → интегрирование по $x$ с $R(x)$; вращение вокруг оси $y$ → интегрирование по $y$ с $R(y)$. Смешивание их — частая ошибка.
Вращайте область под $y=\sqrt x$ на промежутке $[0,4]$ вокруг оси $x$.
- Радиус $R(x)=\sqrt x$, значит формула объема $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- Каждый диск представляет собой окружность радиуса $\sqrt x$, расположенную вдоль оси $x$.
Метод дисков вращает область вокруг оси, образуя круглые срезы: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ относительно оси $x$ или $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ относительно оси $y$. Радиус $R$ — это расстояние от кривой до оси. Никогда не опускайте множитель $\pi$ и не забывайте возводить в квадрат.