Объемы с поперечными сечениями: Треугольники и полукруги
Та же идея, другие формы срезов
- Формула объема $V=\int_a^b A(x)\,dx$ работает для любой формы поперечного сечения — вам нужно лишь найти $A(x)$.
- Помимо квадратов, на экзамене AP часто встречаются треугольные и полукруглые поперечные сечения.
- Единственный новый шаг — правильная формула площади для данной фигуры, выраженная через основание.
- Получите формулу площади $A(x)$ из геометрии, затем интегрируйте, как прежде.
Треугольные поперечные сечения
- Для равностороннего треугольника со стороной $s$: площадь равна $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- Для прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами $s$: площадь $=\dfrac12 s^2$; для произвольного треугольника: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- Используйте длину основания $s(x)$ (расстояние, которое охватывает срез) в правильной формуле площади треугольника.
- Запишите формулу площади $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, затем проинтегрируйте.
Основание, чьи срезы изменяются
y = a·√x
Одна и та же базовая область дает разные объемы в зависимости от формы срезов — меняется только константа площади, умноженная на $s(x)^2$.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ равна...
Равносторонний треугольник: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
Соотнесите каждую форму поперечного сечения с его константой площади (умноженной на $s^2$).
Каждая площадь равна своей константе, умноженной на квадрат основания.
Полукруглые поперечные сечения
- Полукруг с диаметром $s$ имеет радиус $\dfrac{s}{2}$, поэтому его площадь равна $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- Основанием среза является диаметр, поэтому разделите его пополам, чтобы получить радиус, прежде чем возводить в квадрат.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- Следите за коэффициентом: диаметр $\to$ делится на 2 при получении радиуса, а этот шаг легко пропустить.
У полукруглого поперечного сечения диаметр лежит на основании $s(x)$. Его радиус равен...
Основание является диаметром, поэтому радиус равен половине.
Для полукруга, у которого диаметр является основанием $s$, перед возведением в квадрат нужно разделить $s$ пополам, чтобы получить радиус.
Радиус равен $=s/2$; забывание об этом — распространенная ошибка.
Всегда «площадь в зависимости от основания»
- Все эти случаи сводятся к поиску формулы площади $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- Квадрат: $\to 1$; равносторонний треугольник: $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; полукруг: $\to \tfrac{\pi}{8}$; прямоугольный равнобедренный: $\to \tfrac12$.
- Найдите основание $s(x)$ из области, подставьте его в формулу площади данной фигуры и проинтегрируйте.
- Математический анализ идентичен; меняется только числовой коэффициент.
Основание под $y=\sqrt x$ на $[0,4]$, полукруглые срезы: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. Затем $V=$
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
Каждый объем с поперечным сечением равен $\int_a^b A(x)\,dx$, где $A(x)$ = (константа формы) $\times s(x)$ ____.
Площади масштабируются как квадрат основания.
Для полукруга основанием среза является диаметр, поэтому радиус равен $\frac{s}{2}$ — не возводите в квадрат всё основание, как если бы оно было радиусом. Также сопоставьте формулу треугольника с указанным типом (равносторонний против прямоугольного равнобедренного); у них разные коэффициенты. Основание $s(x)$ по-прежнему представляет собой расстояние, охватываемое срезом.
Основание — область под $y=\sqrt x$ на промежутке $[0,4]$; поперечные сечения — полукруги с диаметром, лежащим на основании.
- Диаметр $s(x)=\sqrt x$, значит радиус $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
Для треугольных или полукруглых поперечных сечений используйте формулу площади $V=\int_a^b A(x)\,dx$ с учетом формы: равносторонний треугольник $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, прямоугольный равнобедренный $\frac12 s^2$, полукруг $\frac{\pi}{8}s^2$ (основание $=$ является диаметром, поэтому радиус $=\frac s2$). Найдите основание $s(x)$ и проинтегрируйте.