Объемы с поперечными сечениями: квадраты и прямоугольники
| English | Русский |
|---|---|
| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | поперечные сечения |
Сложение тонких плит в тело вращения
- Интегрирование также находит объемы, а не только площади — путем суммирования тонких срезов твердого тела.
- Разрежьте твердое тело перпендикулярно оси; каждый срез представляет собой тонкую плиту некоторой площади поперечного сечения $A(x)$.
- Сложите их: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — интеграл от площади поперечного сечения.
- Этот урок посвящен телам, чьи поперечные сечения представляют собой квадраты или прямоугольники.
Общая формула объема
- Если поперечное сечение в точке $x$ имеет площадь $A(x)$ и толщину $dx$, его малый объем равен $A(x)\,dx$.
- Сумма по всему телу: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- Все сводится к следующему: запишите площадь поперечного сечения как функцию от $x$, затем проинтегрируйте.
- Сложная часть — это геометрия одного среза, а не сам калькулюс.
Объем тела с площадью поперечного сечения $A(x)$ равен...
Сложите слои $A(x)\,dx$.
Чтобы использовать $V=\int_a^b A(x)\,dx$, срезы поперечного сечения должны быть...
Срезы перпендикулярны оси, вдоль которой вы интегрируете.
Квадратные поперечные сечения
- Распространенный случай: поперечные сечения — квадраты, основание которых лежит на области между двумя кривыми.
- Если длина основания равна $s(x)$ (часто это $f(x)-g(x)$, расстояние между кривыми), площадь квадрата составляет $s(x)^2$.
- Тогда $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- Основание каждого квадрата охватывает область; его площадь равна квадрату основания.
Основная область под √x
y = a·√x
Каждый квадратный срез лежит на основании; его сторона равна высоте $\sqrt{x}$, следовательно, его площадь равна $(\sqrt{x})^2=x$.
Для квадратных поперечных сечений с основанием $s(x)$ площадь равна...
Квадрат со стороной $s$ имеет площадь $s^2$.
Длина основания поперечного сечения часто представляет собой расстояние между граничными кривыми, $f(x)-g(x)$.
Основание охватывает область между кривыми.
Прямоугольные поперечные сечения
- Для прямоугольников площадь равна произведению основания $\times$ и высоты: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- Высота может быть фиксированным множителем от основания или задаваться отдельно в условии задачи.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- Внимательно прочитайте условие, чтобы правильно определить правило для высоты.
Основание под $y=\sqrt x$ на $[0,4]$, квадратные поперечные сечения: $A(x)=x$. Найдите $V=\int_0^4 x\,dx$.
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
Для прямоугольных поперечных сечений: площадь = основание ____ высота.
$A=s\cdot h$ для прямоугольника.
Длина основания $s(x)$ обычно представляет собой расстояние между граничными кривыми ($f(x)-g(x)$) или между кривой и осью — определите, что образует основание, прежде чем возводить в квадрат. Для квадратов площадь равна $s(x)^2$ (не забудьте возвести в квадрат всё расстояние). Срезы должны быть перпендикулярны оси интегрирования.
Тело имеет основанием область под $y=\sqrt{x}$ от $x=0$ до $4$, с квадратными поперечными сечениями, перпендикулярными оси $x$.
- Основание каждого квадрата равно $s(x)=\sqrt{x}$ (от кривой до оси $x$).
- Площадь поперечного сечения: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
Объем тела равен $V=\int_a^b A(x)\,dx$, что является интегралом его площади поперечного сечения. Для квадратных сечений с основанием $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; для прямоугольников, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. Найдите основание $s(x)$ (часто это расстояние между кривыми), составьте выражение для площади $A(x)$ и проинтегрируйте.