Нахождение площади между кривыми, пересекающимися более чем в двух точках
| English | Русский |
|---|---|
| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | подынтервалы |
Когда кривые пересекаются многократно
- Иногда две кривые пересекаются более двух раз, и «верхняя» кривая меняется на протяжении пути.
- Один единый интеграл (верхняя минус нижняя) тогда получил бы неправильный знак на части области.
- Решение: разбейте область в каждой точке пересечения и проинтегрируйте каждую часть отдельно.
- Сложите площади частей (положительные), чтобы получить общую сумму.
Сначала найдите каждое пересечение
- Решите уравнение $f(x)=g(x)$ полностью — найдите все точки пересечения на интервале, а не только крайние две.
- Эти точки пересечения являются границами подынтервалов, где порядок кривых фиксирован.
- Упорядочите их слева направо вдоль оси $x$.
- Каждая соседняя пара точек пересечения ограничивает одну часть области.
Кубическая пересекает прямую 3 раза
y = ax³ + bx
$y=x^3$ и $y=x$ пересекаются в точках $-1,0,1$; верхняя кривая меняется в точке $0$, поэтому площадь состоит из двух частей.
Где пересекаются $y=x^3$ и $y=x$?
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
Точки пересечения делят область на ____, где порядок фиксирован.
На каждом подынтервале одна кривая последовательно находится сверху.
Делите там, где верхняя и нижняя меняются местами
- На каждом подынтервале одна кривая постоянно находится сверху — проверьте точку, чтобы увидеть, какая именно.
- Составьте отдельный интеграл (верхняя $-$ минус нижняя) для каждого подынтервала, используя правильную верхнюю кривую на данном участке.
- Поскольку верхняя кривая меняется между частями, подынтегральные выражения будут отличаться от части к части.
- Полная площадь равна сумме этих отдельных интегралов.
Вы разбиваете область в каждой точке пересечения, потому что...
В местах смены кривых часть области была бы посчитана со знаком минус.
Использование одного интеграла от $f-g$ на всем диапазоне пересечений (смена кривых) дает...
Учет знаков занижает истинную площадь.
Складывайте абсолютные площади
- Каждый интеграл по подынтервалу, вычисленный с правильным верхним минус нижним, положителен.
- Сложите их вместе: результат равен $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Эквивалентно, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — модуль разности, проинтегрированный.
- Оба подхода дают одинаковую полную геометрическую площадь.
Для $y=x^3$ и $y=x$ на интервале $[-1,1]$ каждая часть имеет площадь $\tfrac14$. Найдите общую площадь.
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Интегрирование $|f(x)-g(x)|$ на всем интервале дает ту же общую площадь, что и разбиение.
Модуль автоматически учитывает смену знака.
Не используйте один интеграл от $f-g$ через все точки пересечения — там, где кривые меняются местами, часть области дает отрицательное значение и аннулирует реальную площадь. Вы должны разбить область в каждой точке пересечения и корректно вычесть верхнее из нижнего на каждой части (или проинтегрировать $|f-g|$). Найдите все точки пересечения, а не только концы.
Площадь между $y=x^3$ и $y=x$ на $[-1,1]$.
- Точки пересечения: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — три точки.
- На $(-1,0)$: $x^3>x$ (проверка $-0.5$). На $(0,1)$: $x>x^3$ (проверка $0.5$). Верхняя кривая меняет поведение в точке $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Когда кривые пересекаются более двух раз, найдите все точки пересечения, разбейте область на подынтервалы и интегрируйте верхнее минус нижнее на каждом (верхняя кривая меняется между ними). Сложите части — эквивалентно, проинтегрируйте $|f(x)-g(x)|$. Один прямой интеграл от $f-g$ ошибочно аннулирует площадь.