Нахождение площади между кривыми, заданными как функции y
| English | Русский |
|---|---|
| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | горизонтальный срез |
Разрезайте горизонтально, а не вертикально
- Некоторые области неудобно описывать вертикальными полосками — например, парабола, ветви которой направлены в стороны.
- Решение: разбейте область на горизонтальные полоски и интегрируйте по переменной $y$ вместо $x$.
- Всё из предыдущего урока поворачивается на 90°: кривые становятся функциями $y$, а из вычитания правой из левой.
- Та же идея, повернутая: суммируйте ширины горизонтальных зазоров.
Правая минус левая
- Запишите границы как функции от $y$: $x=f(y)$ (самая правая) и $x=g(y)$ (самая левая).
-
$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- Каждая горизонтальная полоска имеет ширину $f(y)-g(y)$ и высоту $dy$.
- Вычитайте правую минус левую, чтобы ширина оставалась положительной.
Парабола, открывающаяся вбок
y = ax² + bx + c
Когда кривые открываются вбок, горизонтальные срезы (правая минус левая, интегрированные по $y$) являются оптимальным выбором.
При горизонтальных срезах площадь равна $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$, где...
Горизонтальные полосы: правая кривая минус левая кривая.
Пределы теперь — значения $y$
- Пределы интегрирования $c$ и $d$ соответствуют нижним и верхним значениям $y$ области — часто это координаты $y$ точек пересечения кривых.
- Решите уравнение относительно $f(y)=g(y)$ (выразив его через $y$), чтобы найти эти пределы.
- Между ними проверьте, какая кривая расположена дальше вправо.
- Затем проинтегрируйте разность ширины (правая граница минус левая граница) от точки $c$ до точки $d$.
Для интеграла по $dy$ пределы интегрирования равны...
Интегрирование по $y$ означает пределы по $y$.
Где пересекаются $x=y^2$ и $x=y+2$ (по значению $y$)?
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
Когда выбирать $dy$ вместо $dx$
- Предпочитайте горизонтальные срезы, когда кривые естественным образом заданы как $x=$(функция от $y$), или когда вертикальные срезы потребовали бы разделения области.
- Область, ограниченная слева и справа разными кривыми (но сверху/снизу единственными точками), является ситуацией для $dy$.
- Если «верхняя» кривая менялась бы посередине при вертикальных разрезах, горизонтальные полоски могут избежать необходимости деления.
- Выберите ту ориентацию, при которой каждая полоска проходит от одной четкой кривой до другой четкой кривой без прерываний.
Площадь, ограниченная кривыми $x=y^2$ и $x=y+2$, равна $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Вычислите её (в виде десятичной дроби).
Она равна $\tfrac92=4.5$.
Для интеграла с горизонтальными сечениями следует выразить каждый контур как $x$ через $y$.
Так как полосы идут горизонтально, выразите $x$ как функцию от $y$.
Горизонтальные сечения предпочтительны, когда...
Боковые кривые подходят для интегрирования по $dy$.
При горизонтальных полосках вы интегрируете правую минус левую по переменной $y$, а пределы — это значения $y$ (не значения $x$). Перепутать их — значит использовать пределы по $x$ с интегралом по $dy$, или вычитать сверху-вниз боком — это даст неверный ответ. Сначала перепишите каждую граничную кривую как $x$ в зависимости от $y$.
Найдите площадь, ограниченную $x=y^2$ и $x=y+2$.
- Точки пересечения (по $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- По $(-1,2)$ прямая $x=y+2$ находится правее (проверьте $y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
Для кривых, заданных функциями от $y$, используйте горизонтальные сечения: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, интегрируя выражение «правая граница минус левая граница» по пределам $y$, полученным из точек пересечения. Выбирайте $dy$, если это позволяет каждому полосе проходить от одной кривой до другой без необходимости разбивки на части.