Нахождение площади между кривыми, заданными как функции x
| English | Русский |
|---|---|
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | площадь между двумя кривыми |
Площадь между двумя кривыми
- Один интеграл дает площадь между кривой и осью $x$. А как насчет площади между двумя кривыми?
- Разбейте область на тонкие вертикальные полосы; высота каждой полосы равна расстоянию между кривыми.
- Сложите (проинтегрируйте) эти высоты по всему интервалу — это и есть площадь между двумя кривыми.
- Формула: «верхнее минус нижнее, проинтегрировано».
Верхнее минус нижнее
- Если $f$ — верхняя кривая, а $g$ — нижняя на интервале $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Каждая вертикальная полоса имеет высоту $f(x)-g(x)$ и ширину $dx$.
- Всегда вычитайте верхнее минус нижнее, чтобы высота (и площадь) оставалась положительной.
Прямая над параболой
y = ax² + bx + c
Между точками пересечения прямая находится выше параболы — вертикальное расстояние, проинтегрированное, равно замкнутой площади.
Площадь между верхней кривой $f$ и нижней кривой $g$ на интервале $[a,b]$ равна...
Верхняя минус нижняя, интегрированная.
Пределы интегрирования из точек пересечения
- Границы $a$ и $b$ обычно совпадают с точками, где кривые пересекаются — приравняйте $f(x)=g(x)$ и решите уравнение.
- Эти значения координат $x$ точек пересечения образуют левую и правую границы заштрихованной области.
- Между ними определите, какая кривая находится выше (подставьте контрольную точку).
- Затем проинтегрируйте разность верхнего и нижнего по интервалу $[a,b]$.
Где пересекаются $y=x+2$ и $y=x^2$?
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
Чтобы определить, какая кривая находится сверху между точками пересечения, вы...
Подставьте контрольную точку, чтобы увидеть, какая из них выше.
Пределы интегрирования получаются путем приравнивания двух кривых ____.
Решите уравнение $f(x)=g(x)$ относительно значений пересечения $x$.
Формула работает и ниже оси
- Поскольку мы берем верхнее минус нижнее, формула автоматически обрабатывает области, расположенные ниже оси $x$.
- Слагаемое $-g(x)$ поднимает всё вверх, поэтому отдельный учет «знаковых площадей» не требуется.
- Область, полностью находящаяся под осью, все равно дает положительную площадь при использовании метода разности.
- Это преимущество подхода через высоту разрыва.
Площадь между $y=x+2$ и $y=x^2$ равна $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. Вычислите её (в виде десятичной дроби).
Интеграл равен $\tfrac92=4.5$.
Интегрирование (нижняя − верхняя) дает отрицательное значение истинной площади.
Изменение порядка меняет знак.
Всегда вычитайте верхнее минус нижнее — если сделать наоборот, получится отрицательное значение истинной площади. Проверьте, какая кривая выше, подставив значение $x$ между точками пересечения (они могут меняться местами — это следующая тема). А пределы берутся из приравнивания кривых, а не из оси $x$.
Найдите площадь между кривыми $y=x+2$ и $y=x^2$.
- Точки пересечения: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- На интервале $(-1,2)$ прямая находится выше (проверка через $x=0$: прямая $=2>0=$ параболы).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
Площадь между двумя кривыми (функциями $x$) равна $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, вычисляется интегрированием верхней минус нижняя по вертикальным полоскам. Найдите $a,b$ — точки пересечения кривых, определите, какая из них расположена выше, и проинтегрируйте разность. Вычитание верхней из нижней автоматически сохраняет площадь положительной.