Нахождение среднего значения функции на интервале
| English | Русский |
|---|---|
| average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/ | среднего значения |
Средняя высота кривой
- Вы можете усреднить список чисел — но как усреднить функцию, имеющую бесконечное множество значений?
- Интегрирование делает это: среднее значение $f$ на $[a,b]$ равно её полной накопленной величине, деленной на ширину.
- Представьте, что площадь под кривой перестроена в прямоугольник той же ширины — его высота и есть среднее.
- Это версия исчисления для фразы «сложите их и разделите на количество».
Формула
- Среднее значение $f$ на $[a,b]$ равно
-
$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Вычислите определенный интеграл (полную величину), затем разделите на длину интервала $b-a$.
- Единицы измерения: такие же, как у $f$ (это средняя высота, а не площадь).
Равновеликий прямоугольник
y = x²
Среднее значение — это постоянная высота, чей прямоугольник имеет ту же площадь, что и фигура под кривой на отрезке $[a,b]$.
Среднее значение для $f$ на отрезке $[a,b]$ равно...
Сумма, деленная на ширину.
Среднее значение имеет те же ____ единицы, что и функция $f$, а не единицы площади.
Это средняя высота, а не площадь.
Это «выравнивающаяся» высота
- Среднее значение — это постоянная высота, дающая такую же площадь на $[a,b]$.
- $\displaystyle\int_a^b f_{\text{avg}}\,dx = f_{\text{avg}}(b-a)=\int_a^b f\,dx$ — прямоугольник и область совпадают.
- Так что $f_{\text{avg}}$ — это место, где вы бы «выровняли» кривую, сохранив тот же накопленный итог.
- (Теорема Лагранжа о среднем для интегралов гарантирует, что $f$ действительно достигает этого среднего значения где-то, если $f$ непрерывна.)
Найдите среднее значение $f(x)=x^2$ на отрезке $[0,3]$. (Ответ: $\int_0^3 x^2\,dx=9$.)
$\tfrac{1}{3}\cdot 9=3$.
Геометрически среднее значение — это высота прямоугольника (ширина $b-a$), имеющего ту же...
Высота равновеликого прямоугольника равна среднему значению.
Средние значения в контексте
- Средняя скорость на $[a,b]$ = $\frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$ = перемещение ÷ время.
- Средняя температура, средняя скорость, средняя концентрация — все по одному рецепту.
- Считайте единицы измерения, чтобы интерпретировать: среднее скорости — это все еще скорость.
- Это отвечает на вопрос «какое единое постоянное значение дало бы тот же итог?»
Определенный интеграл $\int_a^b f\,dx$ сам по себе является средним значением для $f$.
Это общая величина; разделите на $b-a$, чтобы получить среднее.
Перемещение автомобиля за $[0,2]$ ч составляет $\int_0^2 v\,dt=120$ км. Найдите его среднюю скорость (км/ч).
$\tfrac{120}{2}=60$ км/ч.
Среднее значение делится на $b-a$ — не путайте его с одним лишь определенным интегралом (это полная величина, площадь). $\int_a^b f\,dx$ — накопленная величина; $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ — средняя высота. Забывание $\frac{1}{b-a}$ — классическая ошибка.
Найдите среднее значение $f(x)=x^2$ на $[0,3]$.
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9$.
- Разделите на ширину: $f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{3-0}\cdot 9 = 3$.
- Значит, постоянная высота $3$ заключала бы ту же площадь на $[0,3]$.
Среднее значение функции $f$ на отрезке $[a,b]$ равно $f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — это общий интеграл (определенный интеграл), деленный на ширину интервала. Это постоянная высота прямоугольника, заключаящего ту же площадь, с теми же единицами измерения, что и у функции $f$. Никогда не опускайте множитель $\frac{1}{b-a}$.