Связь положения, скорости и ускорения функций с помощью интегралов
| English | Русский |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | положения |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | Вытеснение |
Движение, теперь через интегралы
- В разделе 4 мы переходили от положения → скорости → ускорения путем дифференцирования. Интегрирование идет обратно.
- Интегрируйте ускорение, чтобы восстановить скорость; интегрируйте скорость, чтобы восстановить положение.
- Каждый шаг суммирует скорость, чтобы получить величину, которую она изменяет.
- Таким образом, интегралы воссоздают историю движения из скоростей.
Чтобы восстановить положение из скорости, вы...
Положение $=$ начальное $+\int v\,dt$.
Подъем по цепочке
- Скорость из ускорения: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Положение из скорости: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Каждому требуется начальное значение (постоянная интегрирования в замаскированном виде).
- Интегрируйте скорость, затем добавьте начальную точку.
Восстановление положения из скорости требует значения ____ для определения константы.
Положение $=$ начальное положение $+\int v\,dt$.
Перемещение против пройденного пути
- Перемещение на $[a,b]$ — это знаковый интеграл скорости: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — чистое изменение положения.
- Общий путь — это интеграл от модуля скорости $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — он никогда не вычитает.
- Если объект меняет направление, перемещение и общий путь различаются.
- Смещение может быть равно нулю после реального движения; путь не может (если объект вообще не двигался).
Знаковая площадь под графиком скорости
y = t − 2 (скорость)
Знаковая площадь под $v(t)$ равна перемещению; взятие модуля на каждом участке (разбиение в точке $v=0$) дает пройденный путь.
Для $v(t)=t-2$ на интервале $[0,3]$ найдите перемещение $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Перемещение может быть нулем, даже когда объект фактически двигался.
Туда-обратно дает нулевое суммарное перемещение, но положительный путь.
Путь означает разбивку на участках поворота
- Чтобы найти полный путь, определите места, где $v=0$ (точки разворота), и проинтегрируйте $|v|$ по частям.
- На каждом участке $v$ сохраняет один знак, поэтому $|v|$ — это просто $\pm v$.
- Сложите модули площадей участков — без взаимного уничтожения.
- Этот шаг «разделения в $v=0$» как раз и превращает расстояние $\neq$ в перемещение (дифференциал).
Для $v(t)=t-2$ на интервале $[0,3]$ полный путь равен $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Вычислите его.
Разбить в точке $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
Общий пройденный путь за промежуток $[a,b]$ равен...
Проинтегрируйте скорость $|v|$; разбивка в точках поворота обязательна.
Смещение ($\int v\,dt$) имеет знак и может быть равно нулю даже после движения; полный путь ($\int|v|\,dt$) никогда не бывает отрицательным. Чтобы найти путь, разбейте интервал там, где $v=0$, и сложите модули значений — не просто интегрируйте $v$ и не берите модуль только в конце. Для восстановления положения/скорости требуется начальное значение.
Частица движется со скоростью $v(t)=t-2$ (м/с) на интервале $[0,3]$. Найдите смещение и полный путь.
- Смещение: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ м.
- $v=0$ на $t=2$: отрицательна на $[0,2)$, положительна на $(2,3]$.
- Путь: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ м.
Интегралы восстанавливают движение: скорость $=$ начальная $+\int a\,dt$, положение $=$ начальная $+\int v\,dt$. Смещение за интервал $[a,b]$ — это алгебраическое $\int_a^b v\,dt$; полный путь — это $\int_a^b|v|\,dt$: разбейте на участках поворота ($v=0$) и сложите модули.