Экспоненциальные модели с дифференциальными уравнениями
| English | Русский |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | экспоненциального роста |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | показательная модель |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | экспоненциального спада |
Уравнение экспоненциального роста
- Одно дифференциальное уравнение встречается повсюду: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — «скорость пропорциональна количеству».
- Его решением является знаменитая экспоненциальная модель $y=y_0 e^{kt}$.
- Население, радиоактивный распад, сложный процент, охлаждение — все они следуют этому шаблону.
- Решите его один раз, и вы получите огромное семейство реальных моделей.
Вывод $y=y_0 e^{kt}$
- Разделите переменные: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. Проинтегрируйте: $\ln|y|=kt+C$.
- Возведите в степень: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- Примените начальное количество $y(0)=y_0$: $A=y_0$.
- Решение: $y=y_0 e^{kt}$ — начальное значение, умноженное на $e^{kt}$.
Решение для $\dfrac{dy}{dt}=ky$ с $y(0)=y_0$ равно...
Разделите и проинтегрируйте: $y=y_0 e^{kt}$.
Рост при $k>0$
- Если $k>0$, то $e^{kt}$ увеличивается, поэтому $y$ демонстрирует экспоненциальный рост.
- Величина продолжает умножаться — чем она больше, тем быстрее растет.
- $k$ — это (непрерывная) скорость роста; большее $k$ означает более быстрый рост.
- Примеры: неконтролируемое население, сложный процент.
Рост (k>0) против убывания (k<0)
y = a·e^{bx}
$y=y_0 e^{kt}$ растет, когда $k>0$, и убывает к нулю, когда $k<0$ — знак $k$ определяет поведение.
В $y=y_0 e^{kt}$ экспоненциальный рост происходит, когда...
$k>0$ заставляет $e^{kt}$ увеличиваться → рост.
Для $P=500e^{0.3t}$ найдите $P(0)$ (начальное количество).
$P(0)=500 e^0=500$.
Убыток при $k<0$
- Если $k<0$, то $e^{kt}$ уменьшается, поэтому $y$ демонстрирует экспоненциальное убывание.
- Величина стремится к $0$, но никогда полностью не достигает её.
- Радиоактивный распад и разность температур следуют $k<0$.
- Величина $|k|$ определяет скорость убывания (связана с периодом полураспада).
Экспоненциальное убывание происходит, когда $k$ является ____ (по знаку).
$k<0$ заставляет $e^{kt}$ уменьшаться к $0$.
Модель $y=y_0 e^{kt}$ применяется к ситуации с постоянной скоростью $\dfrac{dy}{dt}=c$.
Постоянная скорость дает прямую; экспоненциальная модель требует скорости ∝ количеству.
Какие ситуации моделируются с помощью $\dfrac{dy}{dt}=ky$?
У первых трех скорость пропорциональна количеству; кран с постоянной скоростью не подходит.
Экспоненциальная модель возникает только из $\frac{dy}{dt}=ky$ (скорость пропорциональна количеству). Не применяйте $y=y_0 e^{kt}$ к ситуации с постоянной скоростью ($\frac{dy}{dt}=c$, которая дает линию). И знак $k$ имеет всё значение: $k>0$ растет, $k<0$ убывает — неправильный знак переворачивает всё поведение.
Колония $500$ бактерий растет так, что $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ ($t$ в часах). Найдите $P(t)$ и $P(4)$.
- Модель: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$.
- При $t=4$: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ бактерий.
- Поскольку $k=0.3>0$, это экспоненциальный рост.
Дифференциальное уравнение $\frac{dy}{dt}=ky$ дает экспоненциальную модель $y=y_0 e^{kt}$, где $y_0$ — начальное количество. $k>0$ → экспоненциальный рост; $k<0$ → экспоненциальное убывание. Оно применимо только тогда, когда скорость пропорциональна текущему количеству.