Проверка решений дифференциальных уравнений
| English | Русский |
|---|---|
| solution/səˈluːʃn/ | раствором |
Является ли эта функция действительно решением?
- Перед тем как решать дифференциальное уравнение, вы должны уметь проверить предполагаемый ответ.
- Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой уравнение обращается в верное тождество.
- Проверка носит чисто механический характер: продифференцируйте кандидата и подставьте его.
- Если обе части совпадают для всех $x$, это решение; если нет — не является таковым.
Алгоритм проверки
- 1. Возьмите функцию-кандидат и вычислите её производную(ые).
- 2. Подставьте функцию и её производные в дифференциальное уравнение.
- 3. Упростите обе части и убедитесь, что они равны (как тождества по $x$).
- Интегрирование не требуется — проверка сводится только к дифференцированию и подстановке.
Чтобы проверить предполагаемое решение, вам нужно...
Продифференцируйте предполагаемое решение, подставьте, проверьте совпадение обеих частей.
Разобранная проверка
- Решает ли $y=e^{3x}$ уравнение $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
- Продифференцируйте: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Подставим в правую часть: $3y=3e^{3x}$.
- Левая $=$ правая ($3e^{3x}=3e^{3x}$), значит да, $y=e^{3x}$ является решением. ✓
Решения dy/dx = ky
Каждая экспонента $y=Ce^{kx}$ проходит через поле направлений — проверка одного решения лишь подтверждает, что его производная совпадает с $ky$.
$y=e^{3x}$ является решением $\dfrac{dy}{dx}=3y$.
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
Обе части должны быть равны для ____ значений $x$, а не только для одного, чтобы подтвердить решение.
Решение удовлетворяет уравнению тождественно.
Общее и частное решения
- $y=Ce^{3x}$ (при любом постоянном $C$) также решает $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — всё семейство представляет собой общее решение.
- Зафиксировав конкретное значение $C$, вы получите частное решение.
- Проверка работает одинаково для обоих случаев: продифференцируйте и проверьте выполнение уравнения.
- Постоянная сохраняется при дифференцировании, поэтому баланс проверки остаётся верным.
Проверка данного решения требует интегрирования дифференциального уравнения.
Проверка — это дифференцирование и подстановка; интегрирование не требуется.
При каких константах $C$ функция $y=Ce^{3x}$ решает $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ для всех $C$ — общее решение.
Является ли $y=x^2+C$ решением $\dfrac{dy}{dx}=2x$?
$\frac{dy}{dx}=2x$ независимо от $C$.
Проверка не является решением — вы лишь проверяете данный кандидат, поэтому интегрирование не involvement. Подставьте функцию и её производную в уравнение и убедитесь, что обе части идентичны для всех $x$, а не только в одной точке. Совпадения в одной точке $x$ недостаточно.
Проверьте, что $y=x^2+C$ является решением $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Продифференцируем: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (постоянная $+C$ исчезает).
- Дифференциальное уравнение гласит, что $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Обе части равны $2x$, следовательно, $y=x^2+C$ является решением для любого постоянного $C$. ✓
Чтобы проверить решение дифференциального уравнения, продифференцируйте кандидата и подставьте его (вместе с производными) в уравнение; это решение тогда и только тогда, когда обе части равны для всех $x$. Интегрирование не требуется — проверка это дифференцирование и проверка. Семейство с постоянной $C$ является общим решением.