Построение полей направлений
| English | Русский |
|---|---|
| slope field/sləʊp fiːld/ | поле направлений |
Карта наклонов по всей плоскости
- Дифференциальное уравнение $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ задаёт наклон в каждой точке.
- Нарисуйте короткий отрезок с этим наклоном в каждой точке сетки, и вы получите поле направлений (или поле тангенсов).
- Это «карта», показывающая, в каком направлении должны двигаться кривые решений повсюду.
- Вам не нужно решать уравнение, чтобы нарисовать его — достаточно вычислить наклон.
Поле направлений для dy/dx = ay
Каждый штрих имеет наклон $\tfrac{dy}{dx}$ в своей точке — пологий около $y=0$ и круче вдали для $\tfrac{dy}{dx}=ay$.
Поле направлений показывает в каждой точке...
Каждый штрих — это направление касательной в данной точке.
Для построения поля направлений вычисляют только наклоны — вам ____ не нужно решать уравнение.
Уравнение дает наклон непосредственно.
Вычисление наклона в каждой точке
- В узловой точке $(x,y)$ подставьте значения в $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$, чтобы получить число — это и есть наклон отрезка.
- Наклон $0$ → горизонтальная черточка; большой положительный → крутой подъем вверх; отрицательный → спуск вниз.
- Повторите процесс для решетки точек, чтобы заполнить поле.
- Уравнение дает наклон напрямую; первообразная не нужна.
Для $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ найдите наклон штриха в точке $(2,3)$.
$2+3=5$.
Для $\dfrac{dy}{dx}=xy$ наклон в точке $(3,2)$ равен...
$xy=3\cdot2=6$ (используйте обе координаты).
Быстрое выявление закономерностей
- Если $F$ зависит только от $x$: наклон одинаков вдоль вертикальной линии (столбцы выглядят идентично).
- Если $F$ зависит только от $y$: наклон одинаков вдоль горизонтальной линии (строки выглядят идентично).
- Для $\dfrac{dy}{dx}=y$: наклоны растут с высотой — пологие около $y=0$, крутые далеко от неё.
- Распознавание этих закономерностей значительно ускоряет построение эскиза.
Если $\dfrac{dy}{dx}$ зависит только от $x$, то штрихи в каждом вертикальном столбце параллельны.
Одинаковый $x$ → одинаковый наклон вдоль столбца.
Линии равновесия
- Там, где $F(x,y)=0$, наклон равен $0$ — ряд (или кривая) горизонтальных черточек.
- Для $\dfrac{dy}{dx}=y$ это происходит при $y=0$: целая горизонтальная линия плоских отрезков.
- Эти линии часто обозначают поведение равновесия — решения могут выравниваться на них.
- Их проще всего отметить, поэтому начинайте с них.
Для $\dfrac{dy}{dx}=y$ штрихи горизонтальны вдоль линии...
Наклон $=y=0$ вдоль $y=0$.
Поле направлений показывает наклоны дифференциального уравнения, а не сами кривые решений. Маленькие отрезки обозначают касательные направления; решение — это кривая, которая остается касательной к ним. И вычисляйте наклон по координате $(x,y)$ точки, используя также $y$, если $F$ зависит от неё, а не только по $x$.
Нарисуйте несколько наклонов для $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- При $(1,0)$: наклон $=1$. При $(2,5)$: наклон $=2$. При $(-1,3)$: наклон $=-1$.
- Поскольку $F=x$ (нет зависимости от $y$), каждая точка в вертикальном столбце имеет один и тот же наклон.
- Столбцы параллельных черточек: горизонтальные при $x=0$, все более наклоненные по мере роста $|x|$.
Поле направлений рисует короткий отрезок наклона $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ в каждой узловой точке — карту направлений касательных без необходимости решения. Вычислите наклон в каждой $(x,y)$; ищите закономерности (столбцы совпадают, если $F$ зависит только от $x$, строки — если только от $y$) и горизонтальные черточки там, где $F=0$.