Интегрирование методом замены переменной
| English | Русский |
|---|---|
| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | замена переменной u |
Правило сложной функции в обратном направлении
- Правило сложной функции использовалось для производных составных функций. Интегрирование должно его отменить.
- Замена переменной (или u-замена) — это обратное действие к правилу сложной функции.
- Она выявляет составную функцию вместе с ее внутренней производной и упрощает выражение путем переименования.
- Освоив этот метод, вы сможете решать огромный класс ранее невозможных интегралов как рутинные задачи.
u-замена является обратной какому правилу дифференцирования?
Оно обратимо к правилу сложной функции.
Переименуйте внутреннюю функцию в $u$
- Ищите внутреннюю функцию $g(x)$, производная которой $g'(x)$ также присутствует (с точностью до константы) в подынтегральном выражении.
- Пусть $u=g(x)$; тогда $du=g'(x)\,dx$.
- Перепишите весь интеграл через $u$ — сложный выражение с $x$ превратится в простой интеграл по $u$.
- Затем проинтегрируйте по $u$ и сделайте обратную замену $u=g(x)$ в конце.
Составная функция, готовая к u-замене
y = ax³ + bx
Подынтегральная функция вида $2x(x^2+1)^3$ скрывает внутреннюю функцию и её производную — сигнал для замены.
Для $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ хорошим выбором является $u=$
В $u=x^2+1$ содержится $du=2x\,dx$, который присутствует.
Чистый пример паттерна
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Внутренняя функция $u=x^2+1$, значит $du=2x\,dx$.
- $2x\,dx$ в интеграле в точности равно $du$ — идеальное совпадение.
- Интеграл принимает вид $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- Обратная замена: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ равно...
$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, затем подставьте обратно.
Обработайте константу или пределы
- Если $du$ отличается от нужного на константный множитель, просто умножьте/разделите, чтобы исправить это (например, $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- Для определенного интеграла либо сделайте обратную замену в $x$ перед вычислением, либо измените пределы на значения $u$.
- Изменение пределов чище: преобразуйте $a,b$ в $u(a),u(b)$ и больше не возвращайтесь к $x$.
- Ответ для неопределенного интеграла всегда должен быть выражен через исходную переменную $x$.
Вычислите $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (пусть $u=x^3+1$). Введите десятичное число.
$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
Правильная замена переменной u превращает $dx$ полностью в $du$, не оставляя лишних $x$.
Оставшийся $x$ или $dx$ — это классическая ошибка.
Замена переменной u работает, когда подынтегральное выражение содержит внутреннюю функцию и её...
Производная внутренней функции $g'(x)$ должна присутствовать (умноженная на константу).
Замена u работает только тогда, когда производная внутренней функции присутствует (возможно, с константой). Если $g'(x)$ отсутствует, нельзя его просто придумать. И не забудьте преобразовать $dx$ в $du$ — оставление постороннего $dx$ или остаточного $x$ является классической ошибкой. Для определенных интегралов либо измените пределы интегрирования, либо вернитесь к исходной переменной, но не смешивайте оба метода.
Вычислите $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- Пусть $u=x^3+1$, значит $du=3x^2\,dx$. Пределы: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- Интеграл принимает вид $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
Замена переменной отменяет правило сложной функции: положите $u=g(x)$ (внутреннюю функцию), замените $g'(x)\,dx$ на $du$, проинтегрируйте по $u$, затем сделайте обратную замену (или измените пределы для определенного интеграла). Метод работает, если внутренняя производная встречается с точностью до константного множителя. Всегда полностью преобразовывайте $dx\to du$.