Интегрирование функций с помощью деления многочленов и выделения полного квадрата
| English | Русский |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | выделение полного квадрата |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | деление многочлена столбиком |
Сначала перепишите, затем интегрируйте
- Некоторые рациональные функции не подходят ни к одной базовой первообразной — пока вы их не перепишете.
- Два алгебраических инструмента подготовят упрямое подынтегральное выражение: деление уголком и выделение полного квадрата.
- Ни один из них не относится к математическому анализу; оба просто преобразуют дробь в более удобный вид.
- Затем базовое правило или известный интеграл завершат задачу.
Деление уголком для дробей, где числитель имеет большую степень
- Если степень числителя $\ge$ степени знаменателя, дробь называется несобственной.
- Используйте деление многочлена уголком, чтобы разбить её на многочлен плюс правильную дробь.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — теперь каждый компонент интегрируется легко.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
Рациональная кривая для преобразования
y = a / (x − b)
Неправильная дробь, например $\tfrac{x^2}{x+1}$, представляется как прямая линия плюс небольшой остаток — каждая часть интегрируется легко.
Используйте деление уголком, если степень числителя...
Неправильная дробь (когда числитель больше знаменателя) требует деления.
Деление уголком дает $\dfrac{x^2}{x+1}=$
$x^2=(x+1)(x-1)+1$, поэтому частное равно $x-1$ с остатком $1$.
Выделение полного квадрата для тригонометрических форм обратной функции
- Знаменатель вида $x^2+4x+5$ скрывает полный квадрат: выделите полный квадрат, чтобы привести его к виду $(x+2)^2+1$.
- Эта $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ форма соответствует первообразной арктангенса.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- Выделение полного квадрата превращает громоздкое квадратичное знаменатель в чистый $u^2+a^2$ шаблон.
Выделение полного квадрата, $x^2+4x+5=$
$(x+2)^2=x^2+4x+4$, следовательно, $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.
Форма $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ интегрируется до ____ функции.
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
Распознайте сигнал
- Степень числителя $\ge$ степень знаменателя → сначала примените деление многочленов в столбик.
- Неприводимое квадратичное знаменатель (нет действительных корней) → попробуйте выделение полного квадрата для приведения к арктангенсу.
- Это подготовительные шаги; само интегрирование сводится к базовому правилу или замене переменной.
- Определение того, какое преобразование использовать, — это половина успеха.
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
Сначала разделите, затем проинтегрируйте $x-1+\tfrac1{x+1}$.
Соотнесите сигнал с преобразованием: выберите все верные пары.
Деление уголком используется только для неправильных дробей; оба метода являются предынтегральными преобразованиями.
Выполняйте деление многочленов только при неправильной дроби (степень числителя $\ge$ степени знаменателя) — деление правильной дроби ни к чему не приведет. А после выделения полного квадрата сохраните верную константу: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, а не $(x+2)^2+5$. Неправильная константа нарушит соответствие с арктангенсом.
Интегрируйте $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- Деление многочленов: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- Интегрируйте почленно: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (Каждое преобразованное слагаемое использует базовое правило первообразной.)
Когда рациональный подынтегральный выражение не подходит ни под одно базовое правило, преобразуйте его сначала: используйте деление многочленов в столбик для неправильной дроби (степень числителя $\ge$ степени знаменателя) или выделите полный квадрат в неприводимом квадратичном знаменателе, чтобы получить форму арктангенса. Затем завершите интегрированием по базовому правилу.