Нахождение первообразных и неопределенных интегралов: основные правила и нотация
| English | Русский |
|---|---|
| indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | неопределенный интеграл |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | постоянная интегрирования |
Обратное дифференцирование
- FTC Часть 2 требует первообразной — давайте научимся их находить.
- Первообразной для $f$ — это любая функция, производная которой равна $f$; все такие функции образуют неопределенный интеграл.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (без пределов) означает «общая первообразная для $f$».
- Каждое правило дифференцирования, прочитанное в обратном направлении, становится правилом интегрирования.
Правило степени для интегрирования
- Примените правило степени в обратном порядке: увеличьте показатель степени на единицу, затем разделите на новый показатель.
-
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- Проверка: дифференцирование $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ дает $x^n$. ✓
- (Случай $n=-1$ является особым: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
Чему равно $\displaystyle\int x^3\,dx$?
Увеличить показатель степени на единицу, разделить на него: $\tfrac{x^4}{4}+C$.
Правило степени не работает для $n=-1$. Чему равно $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$?
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$.
Никогда не забывайте про $+C$
- Поскольку производная константы равна $0$, можно добавить любую константу — поэтому первообразная представляет собой семейство функций.
- Всегда добавляйте константу интегрирования $+C$ к неопределенному интегралу.
- Без пределов невозможно определить конкретную константу, поэтому $+C$ остается.
- (В определенном интеграле $+C$ сокращается — вот в чем разница.)
Семейство, сдвинутое на +C
y = ax³ + d
Все первообразные для $f$ отличаются только вертикальным сдвигом $+C$ — одинаковым наклоном везде.
Неопределенный интеграл должен включать константу интегрирования $+C$.
Первообразная — это семейство; $+C$ является частью ответа.
Стандартные первообразные
- Применийте правила дифференцирования элементарных функций в обратном порядке:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- Сочетайте с линейностью, чтобы интегрировать любой многочлен или сумму почленно.
Чему равно $\displaystyle\int \sin x\,dx$?
$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (обратите внимание на минус).
Найдите $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$.
Обратное правило степени по слагаемым, плюс $C$.
Выберите все правильные первообразные.
$\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (положительная); последняя неправильная.
Два главных момента: всегда добавляйте $+C$ к неопределенному интегралу (это часть ответа), и правило степени не работает для $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ равно $\ln|x|+C$, а не $\frac{x^0}{0}$. Также следите за знаком на $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (минус, зеркальный отражающий производную $\cos$).
Найдите $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- Почленно (обратное правило степени): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- Проверка дифференцированием: $6x^2-4x+5$. ✓
Неопределенный интеграл $\int f\,dx$ — это общая первообразная для $f$. Правило степени для интегрирования: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ для $n\neq-1$ (и $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). Всегда добавляйте константу интегрирования $+C$ и интегрируйте суммы почленно.