Фундаментальная теорема математического анализа и определенные интегралы
| English | Русский |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | первообразная |
Вычисление площади без сложения прямоугольников
- Сумы Римана дают идею определенного интеграла, но суммирование бесконечного числа прямоугольников непрактично.
- Вторая часть Фундаментальной теоремы математического анализа дает способ ускорения.
- Найдите первообразную $F$ (функцию, производной которой является $f$), затем вычтите её значения в пределах интегрирования.
- Интегрирование превращается в «обратную производную, затем подстановка двух чисел».
Функция $F$ со свойством $F'=f$ называется ____ для $f$.
Часть 2 ФТМ вычисляет первообразную на пределах.
Теорема о вычислении
- Если $F'=f$ (так что $F$ является первообразной для $f$), то:
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- Вычислите $F$, оцените её значение в верхнем пределе и нижнем пределе, затем вычтите.
- Точная знакочисленная площадь получается автоматически — без прямоугольников и пределов сумм.
Точная площадь, вычисленная
y = x²
Часть 2 ФТМ превращает эту заштрихованную область в $F(2)-F(0)$ — первообразную, вычисленную на пределах.
Часть 2 ФТМ гласит, что $\int_a^b f\,dx=$
Вычислить первообразную на верхнем пределе минус нижний предел.
Обозначение оценки чертой
- Аккуратный способ показать двухшаговое вычисление: $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$.
- Запишите первообразную в скобках с пределами, затем вычтите «верхнее минус нижнее».
- Сохраните порядок: значение верхнего предела минус значение нижнего предела.
- Обратный порядок меняет знак (соответствует свойству перестановки пределов).
Вычислить $\int_0^2 x^2\,dx$ используя $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (Введите десятичное число.)
$\tfrac{8}{3}-0=\tfrac83\approx2.667$.
Вычисление $F(a)-F(b)$ вместо $F(b)-F(a)$ дает правильное значение.
Это меняет знак — используйте верхний минус нижний.
Вычислить $\int_1^3 2x\,dx$ используя $F(x)=x^2$.
$F(3)-F(1)=9-1=8$.
Подходит любая первообразная
- Если $F$ — одна из первообразных, то и $F+C$ является таковой для любой константы — но $+C$ сокращается в выражении $F(b)-F(a)$.
- Поэтому для определенного интеграла можно выбрать самую простую первообразную и игнорировать $+C$.
- (Постоянная важна только для неопределенных интегралов, урок 6.8.)
- Проверьте дифференцированием ваш $F$: вы должны получить обратно $f$.
Для определенного интеграла константа $+C$ первообразной...
$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.
Вы должны использовать истинный первообразной ($F'=f$), а затем вычислить $F(b)-F(a)$ именно в таком порядке. Переход к $F(a)-F(b)$ изменит знак. $+C$ сокращается в определенном интеграле, так что не волнуйтесь о нем здесь — но обязательно проверьте $F'=f$, иначе весь ответ будет неверным.
Вычислите $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.
- Первообразная для $x^2$ равна $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (поскольку $F'=x^2$).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- Это подтверждает раннюю оценку по суммам Римана для $\approx2.67$.
FTC Часть 2: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, где $F$ — любой первообразной от $f$ ($F'=f$). Найдите $F$, подставьте верхний предел и вычтите нижний. $+C$ сокращается, поэтому подходит любая первообразная — это превращает вычисление площади в простую арифметику.