Применение свойств определенных интегралов
| English | Русский |
|---|---|
| linearity/lɪˈnɪərɪti/ | линейностью |
Правила, упрощающие интегралы
- Определенные интегралы подчиняются чистой алгебре — тем же удобным правилам, что и пределы, и производные.
- Эти свойства позволяют разбивать, объединять и перегруппировывать интегралы без повторного вычисления площадей.
- Большинство из них следуют напрямую из определения «интеграл = знакочисленная площадь».
- Выучите несколько приведенных здесь, и сложные на вид интегралы часто упрощаются за один шаг.
$\int fg\,dx$ равно $\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$.
Правила произведения для интегралов не существует.
Линейность: разделение сумм и вынесение констант
- Константный множитель: $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$.
- Сумма / разность: $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$.
- Вместе они образуют линейность — интегрируйте почленно, коэффициенты ставьте вперед.
- Как и при дифференцировании, вы обрабатываете комбинацию по частям.
Дано $\int_0^4 f\,dx=10$ и $\int_0^4 g\,dx=3$, найдите $\int_0^4 (2f-g)\,dx$.
$2(10)-3=17$.
Нулевая ширина и перестановка пределов
- Нулевая ширина: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — нет интервала, нет площади.
- Переставьте пределы: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — изменение направления меняет знак.
- Таким образом, порядок пределов несет в себе знак.
- Эти два правила обеспечивают согласованность вычислений при перестановке пределов.
Чему равно $\int_5^5 f(x)\,dx$ для любого $f$?
Интервал нулевой ширины → $0$.
Если $\int_1^4 f\,dx=7$, то $\int_4^1 f\,dx=$
Перестановка пределов меняет знак: $-7$.
Выберите все корректные свойства определенных интегралов.
Первые три верны; «правило» произведения неверно.
Разбиение интервала
- Смежные интервалы: $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$.
- Можно разбить один интеграл на части в любой внутренней точке $b$ и сложить их.
- Это необходимо для кусочно-заданных подынтегральных функций и для использования заданных частичных площадей.
- Также работает в обратную сторону: объединить два смежных интеграла в один.
Разделить площадь в промежуточной точке
y = x²
Площадь от $a$ до $c$ равна площади от $a$ до $b$ плюс от $b$ до $c$ — интегралы разбиваются по смежным интервалам.
Если даны $\int_0^2 f\,dx=5$ и $\int_2^6 f\,dx=8$, найдите $\int_0^6 f\,dx$.
Смежные интервалы складываются: $5+8=13$.
Не существует «правила произведения» для интегралов: $\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. Линейность разделяет только суммы и константные множители, никогда произведения или дроби. И помните, что перестановка пределов меняет знак — очень легко об этом забыть.
Дано $\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$ и $\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$, найдите $\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$.
- Линейность: $\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$.
- $=2(10)-3=17$.
- Не нужно знать значения $f$ или $g$ напрямую — свойства делают это за вас.
Свойства определенных интегралов: линейность ($\int kf = k\int f$; $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$), нулевая ширина ($\int_a^a f=0$), перестановка пределов меняет знак ($\int_b^a f=-\int_a^b f$) и разбиение ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$). Для интегралов нет правила произведения.