Интерпретация поведения функций накопления, связанных с площадью
| English | Русский |
|---|---|
| extrema/ekˈstremə/ | экстремумы |
Чтение $g$ по графику $f$
- Если $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, то по ФТП Часть 1, $g'=f$ — значит, $f$ является производной от $g$."
- Это означает, что всё от Раздела 5 применяется: используйте $f$ (как $g'$) для анализа $g$.
- Знак $f$ указывает, где $g$ возрастает и убывает.
- Нули $f$ (точки смены знака) определяют экстремумы $g$.
При анализе $g(x)=\int_a^x f\,dt$ график $f$ выступает в роли графика $g'$.
Часть 1 ФТМ: $g'=f$.
Возрастание/убывание по знаку $f$
- Где $f(x)>0$: $g$ возрастает (площадь добавляется).
- Где $f(x)<0$: $g$ убывает (площадь вычитается).
- Поэтому смотрите на график $f$: выше оси → $g$ растет; ниже → $g$ падает.
- $g$ — это накопленная сумма знакочисленной площади, поэтому её направление следует знаку $f$.
g возрастает там, где f положительна
y = f(t) (подынтегральная функция = g′)
Пока $f$ (заштрихованная высота) положительна, накопленная площадь $g$ увеличивается; когда $f$ становится отрицательной, $g$ уменьшается.
Для $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ возрастает именно там, где...
$g'=f$, поэтому $g$ растет, где $f>0$.
Экстремумы $g$ в точках смены знака $f$
- $g$ имеет локальный максимум, где $f$ (её производная) меняется с положительного на отрицательный.
- $g$ имеет локальный минимум, где $f$ меняется с отрицательного на положительный.
- Это просто первый признак возрастания/убывания, примененный к $g$, с использованием $f$ как $g'$.
- Экстремумы функции накопления находятся в точках пересечения с осью $x$ функции $f$.
$g$ имеет локальный максимум там, где $f$ меняется с...
$g'=f$ меняется с $+\to-$ → локальный максимум функции $g$.
По графику $f$ можно определить какие особенности $g=\int_a^x f\,dt$?
Возрастание/убывание, экстремумы, выпуклость — всё из $f$. Точные значения требуют реальной площади.
Выпуклость $g$ по наклону $f$
- Поскольку $g'=f$, мы получаем $g''=f'$ — поэтому выпуклость/вогнутость $g$ следует наклону $f$.
- Где $f$ возрастает, $g$ выпукла вниз; где $f$ убывает, $g$ вогнута вверх.
- Точка перегиба $g$ находится там, где $f$ имеет локальный максимум или минимум (где $f'$ меняет знак).
- Один график $f$ показывает возрастание/убывание и выпуклость/вогнутость $g$.
Поскольку $g''=f'$, $g$ выпукла вниз (вогнута) там, где $f$ является ____.
$g''=f'>0$ там, где $f$ растет.
Большое положительное значение $f$ в точке $x$ означает, что $g$...
$f=g'$ — это скорость; большое значение $f$ означает быстрое возрастание $g$, а не то, что $g$ велико.
Для анализа $g(x)=\int_a^x f\,dt$ воспринимайте график $f$ как график $g'$. Не интерпретируйте высоту $f$ как высоту $g$ — читайте знак $f$ для возрастания/убывания $g$, и смену знака $f$ для экстремумов $g$. Большое положительное значение $f$ означает, что $g$ растет быстро, а не то, что $g$ велико.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, где $f>0$ на $(0,3)$, $f(3)=0$, и $f<0$ на $(3,5)$.
- На $(0,3)$: $f>0$ → $g$ возрастает. На $(3,5)$: $f<0$ → $g$ убывает.
- В $x=3$: $f$ изменяется от $+\to-$ → $g$ имеет локальный максимум.
- Значит, $g$ поднимается до пика в точке $x=3$, затем опускается.
Для $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ используйте $g'=f$: $g$ возрастает там, где $f>0$, убывает там, где $f<0$, и имеет экстремумы там, где $f$ меняет знак. Поскольку $g''=f'$, $g$ выпукла вниз там, где $f$ возрастает. Считайте график $f$ как график $g'$.