Фундаментальная теорема математического анализа и функции накопления
| English | Русский |
|---|---|
| Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | Основная теорема математического анализа |
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | функция накопления |
Мост между площадью и наклоном
- Дифференцирование (наклоны) и интегрирование (площади) кажутся не связанными — но они являются обратными операциями.
- Основная теорема математического анализа (ФТП) — это удивительная связь.
- Её первая часть касается функции, заданной через интеграл, называемой функцией накопления.
- Возьмите её производную, и — магическим образом — вы получите обратно подынтегральное выражение.
Функция накопления
- Зафиксируйте нижний предел $a$ и пусть верхний предел меняется: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ — это накопленная (знаковая) площадь под $f$ от $a$ до $x$.
- По мере того как $x$ движется вправо, $g$ накапливает больше площади; переменная интегрирования $t$ — лишь заполнитель.
- $g$ — настоящая функция от $x$ — её можно построить на графике, продифференцировать и проанализировать.
Накопление площади до x
y = t² + 1 (подынтегральная функция)
По мере того как верхний предел сдвигается вправо, $g(x)$ собирает больше площади; скорость его мгновенного роста точно равна $f(x)$.
Функция вида $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ называется функцией ____.
Она накапливает знаковую площадь до $x$.
В выражении $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ переменная $t$ является...
$t$ — фиктивная переменная; $x$ — фактический аргумент для $g$.
ФТП Часть 1: производная отменяет интеграл
- Первая часть ФТП гласит:
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- Простыми словами: производная функции накопления есть само подынтегральное выражение.
- Скорость накопления площади в точке $x$ равна высоте $f(x)$ там. Великолепно просто.
Согласно части 1 ФТМ, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$
Производная функции накопления равна подынтегральной функции $f(x)$.
Для $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$ найдите $g'(3)$.
$g'(x)=x^2+1$, следовательно, $g'(3)=10$.
С нюансом правила сложной функции
- Если верхний предел является функцией $u(x)$, вступает в силу правило сложной функции:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- Подставьте верхний предел в $f$, затем умножьте на производную этого верхнего предела.
- (Переменная нижняя граница меняет знак, так как перестановка пределов меняет знак интеграла.)
Для $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$ ответ равен...
Правило сложной функции: подставьте верхний предел, умножив на его производную $2x$.
Когда верхний предел равен $u(x)$, вы умножаете значение подынтегральной функции в точке $u$ на $u'(x)$.
Этот множитель правила сложной функции необходим.
ФТП Часть 1 дает $g'(x)=f(x)$ только если $x$ — обычный верхний предел. Если верхний предел равен $u(x)$ (как в примере $x^2$), нужно умножить на $u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. Забыть множитель правила сложной функции — классическая ошибка.
Пусть $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. Найдите $g'(x)$ и $g'(3)$.
- По ФТП Часть 1: $g'(x)=x^2+1$ (просто подынтегральное выражение с заменой на $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (Нет необходимости вычислять сам интеграл — производная считывает его напрямую.)
Функция накопления $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ собирает знаковую площадь до точки $x$. ФТП Часть 1: $g'(x)=f(x)$ — дифференцирование функции накопления возвращает подынтегральное выражение. Если верхний предел равен $u(x)$, умножьте на $u'(x)$ (правило сложной функции).