Исследование накопления изменений
| English | Русский |
|---|---|
| net change/net tʃeɪndʒ/ | чистое изменение |
| accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ | накопления |
| area/ˈeərɪə/ | площадь |
| signed area/saɪnd ˈeərɪə/ | направленная площадь |
Суммирование изменений для получения общего значения
- Производная разбивала вещи на скорости. Интегрирование собирает их обратно в общие величины.
- Зная скорость изменения чего-либо, можно найти чистое изменение, которое оно накапливает.
- Ехать с известной скоростью一段时间 → общий путь равен скорости, накопленной за время.
- Это «сложение скоростей» — вторая большая идея анализа: накопление.
Интегрирование (накопление) по сути является обратным действием к...
Накопление скорости обратна дифференцированию суммы.
Суммарное изменение, накопленное из скорости на интервале, называется ____ изменением.
Чистое изменение = ориентированное накопление.
Площадь под графиком скорости = накопленная величина
- Постройте скорость изменения по оси времени. Площадь под этим графиком равна общему накопленному изменению.
- Постоянная скорость $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ за время $2$ ч → площадь прямоугольника равна $=60\times2=120$ км².
- Изменяющаяся скорость создаёт изогнутую область, но идея та же: площадь = накопленная величина.
- Высота — это скорость; ширина — это интервал; площадь — это итог.
Площадь под графиком скорости — это суммарное значение
y = 3 (постоянная скорость)
Заштрихованная площадь под графиком скорости представляет собой накопленную величину — чем шире интервал, тем больше сумма.
Кран течет со скоростью $3$ л/мин в течение $4$ мин. Площадь под графиком скорости (накопленный объем) равна...
Площадь прямоугольника $=3\times4=12$ л.
Скорость линейно возрастает от $0$ до $6$ в течение $4$ мин (треугольник). Накопленная величина (площадь) равна...
Площадь треугольника $=\tfrac12\times4\times6=12$.
Знаковая площадь: скорости могут быть отрицательными
- Когда скорость положительна, величина растёт (площадь считается положительной).
- Когда скорость отрицательна (ниже оси), величина уменьшается (площадь считается отрицательной).
- Чистое изменение — это знаковая площадь: положительные части минус отрицательные.
- Так что движение объекта назад вычитает из накопленного смещения.
Там, где график скорости опускается ниже оси, эта площадь вычитается из чистого накопленного изменения.
Площадь ниже оси отрицательна (ориентированная площадь).
На графике зависимости скорости от времени часть графика ниже оси означает, что тело...
Отрицательная скорость = движение назад = отрицательная ориентированная площадь.
От скорости к величине
- Если $f$ — это скорость, и вы накапливаете её от $a$ до $b$, то получите чистое изменение исходной величины.
- Это ровно обратное дифференцированию — отмена скорости для восстановления итога.
- Инструмент, который точно вычисляет эту знаковую площадь, — определённый интеграл (будет позже).
- Пока что: площадь под графиком скорости = величина, которая накопилась.
Накопленное изменение — это знаковая площадь, а не просто «площадь». График скорости, опускающийся ниже оси, означает, что объект двигался назад, что вычитает из чистого смещения. Не складывайте всю площадь как положительную — области ниже оси считаются отрицательными.
Кран наполняет бак со скоростью $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ в течение $4$ минут, затем $0$ после.
- График скорости — прямоугольник: высота $3$, ширина $4$.
- Накопленный объём = площадь $=3\times4=12$ л.
- Если бы скорость后来 стала отрицательной (слив), эта площадь вычлась бы из общего объема.
Накопление возвращает скорость к общему значению: знаковая площадь под графиком скорости за $[a,b]$ — это чистое изменение величины. Положительная скорость → площадь добавляется; отрицательная скорость → площадь вычитается. Определённый интеграл делает это точным.