Приближенное вычисление площадей с помощью сумм Римана
| English | Русский |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | сумма Римана |
| left/left/ | влево |
| right/raɪt/ | правильно |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | середина |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | трапеция |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | метод трапеций |
Оцените изогнутую площадь с помощью прямоугольников
- Площадь под кривой редко бывает аккуратным прямоугольником — поэтому приблизьте её с помощью многих тонких прямоугольников.
- Разбейте интервал на полосы, постройте прямоугольник на каждой и сложите их площади.
- Эта сумма площадей прямоугольников называется суммой Римана.
- Больше и тоньше прямоугольников → лучше оценка истинной площади.
Площадь, которую мы приближенно вычисляем
y = x²
Прямоугольники или трапеции заполняют заштрихованную область под кривой — чем больше и тоньше полосы, тем точнее оценка.
Использование большего количества более тонких прямоугольников обычно улучшает оценку суммы Римана.
Более тонкие полосы лучше следуют форме кривой.
Левые, правые и средние прямоугольники
- Высота каждого прямоугольника берётся из функции, но где именно в полосе вы её измеряете?
- Левая сумма: высота от левого края каждой полосы.
- Правая сумма: высота от правого края.
- Средняя сумма: высота от середины — обычно самая точная из трёх.
Для $f(x)=x^2$ на $[0,2]$ с $2$ правыми прямоугольниками (ширина $1$): высоты $f(1)=1$, $f(2)=4$. Найдите правую сумму Римана.
$1\cdot1+4\cdot1=5$.
Та же схема, но левая сумма Римана: высоты $f(0)=0$, $f(1)=1$. Найдите её.
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
Какие из перечисленных являются стандартными способами выбора высоты прямоугольника в сумме Римана?
Левая, правая и midpoint (средняя) — стандартные варианты.
Трапеции подходят еще лучше
- Вместо плоской вершины прямоугольника соедините две боковые высоты наклонной линией: получится трапеция.
- Правило трапеций усредняет левую и правую высоты на каждой полосе.
- Оно ближе следует за гладкой кривой, чем прямоугольники, поэтому обычно точнее.
- Площадь каждой трапеции $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
Правило ____ использует наклонные верхние грани (среднее арифметическое высот боковых граней) для более точного соответствия, чем прямоугольники.
Каждая трапеция усредняет левую и правую высоты.
Переоценка или недооценка?
- На возрастающей функции: левые суммы занижают, правые суммы завышают.
- На убывающей функции: всё наоборот — слева выше, справа ниже.
- Ошибка правила трапеций зависит от выпуклости (завышена на выпуклой вверх, занижена на выпуклой вниз).
- Зная направление ошибки, можно ограничить истинную площадь.
Для возрастающей функции левая сумма Римана дает...
Левые высоты — меньшие граничные значения на возрастающей кривой → недооценка.
Три правила прямоугольников могут дать совершенно разные результаты при малом числе полосок — это приближения, а не точная площадь. То, завышает или занижает левая или правая сумма, зависит от того, является ли функция возрастающей или убывающей, а не от самого правила. Всегда проверяйте поведение функции.
Оцените площадь под $f(x)=x^2$ на $[0,2]$ с помощью $2$ правых прямоугольников (ширина $1$).
- Правые высоты: $f(1)=1$ и $f(2)=4$.
- Правая сумма $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (Истинная площадь равна $\tfrac83\approx2.67$; поскольку $x^2$ возрастает, правая сумма завышает — как и следовало ожидать.)
Сумма Римана аппроксимирует площадь прямоугольниками с левыми, правыми или средними высотами. Правило трапеций использует наклонные верхние грани (усреднение крайних высот) для более точного соответствия. Для возрастающей функции левые суммы занижают, а правые завышают; чем больше полосок → тем лучше приближение.