Исследование свойств неявно заданных зависимостей
| English | Русский |
|---|---|
| implicit relations/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃnz/ | неявные соотношения |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | неявное дифференцирование |
Анализ кривых, которые не являются функциями
- Округи, эллипсы и другие неявные соотношения не проходят тест вертикальной линии — они не являются $y=f(x)$.
- Но инструменты математического анализа работают через неявное дифференцирование.
- Можно найти угловые коэффициенты касательных, определить горизонтальные и вертикальные касательные, а также выпуклость.
- Этот урок применяет метод неявного дифференцирования из Модуля 3 к вопросам анализа из Модуля 5.
Горизонтальные касательные: числитель равен нулю
- Из неявного дифференцирования вы получаете $\tfrac{dy}{dx}$ в виде дроби.
- Горизонтальная касательная возникает там, где $\tfrac{dy}{dx}=0$ — приравняйте числитель к нулю (при знаменателе $\neq0$).
- Для $x^2+y^2=25$: $\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}=0$ при $x=0$, т.е. в точках $(0,5)$ и $(0,-5)$ (верх и низ).
- Это наивысшие и наивысшие точки графика.
Касательные к окружности
y = √(25 − x²) (верхняя половина)
На $x^2+y^2=25$ верхняя и нижняя части имеют горизонтальные касательные; левая и правая — вертикальные.
Горизонтальная касательная на неявно заданной кривой возникает там, где $\tfrac{dy}{dx}$...
Горизонтальная касательная ⇔ наклон $0$ ⇔ числитель $\tfrac{dy}{dx}$ равен нулю.
Для $x^2+y^2=25$ ($\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$) отметьте все точки с горизонтальной касательной.
$\tfrac{dy}{dx}=0$ при $x=0$: верхняя и нижняя точки.
Вертикальные касательные: знаменатель равен нулю
- Вертикальная касательная возникает там, где $\tfrac{dy}{dx}$ не определено — приравняйте знаменатель к нулю (при числителе $\neq0$).
- Для $x^2+y^2=25$: $-\tfrac{x}{y}$ не определено, когда $y=0$, т.е. в точках $(5,0)$ и $(-5,0)$ (лево и право).
- Касательная линия вертикальна — график резко меняет направление вверх-вниз.
- Числитель ноль → горизонтальная; знаменатель ноль → вертикальная.
Вертикальная касательная возникает там, где ____ от $\tfrac{dy}{dx}$ равен нулю.
Нуль знаменателя ⇒ наклон не определен ⇒ вертикальная касательная.
Приравнивание знаменателя $\tfrac{dy}{dx}$ к нулю находит касательные, которые являются...
Нуль знаменателя ⇒ вертикальная касательная (нуль числителя ⇒ горизонтальная).
Выпуклость: неявная вторая производная
- Чтобы найти выпуклость, продифференцируйте $\tfrac{dy}{dx}$ ещё раз, неявно, чтобы получить $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- Помните, что каждый $y$ всё ещё зависит от $x$, поэтому снова появляется правило сложной функции, и вы подставляете известное $\tfrac{dy}{dx}$.
- Знак $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ указывает на выпуклость вверх/вниз в точке, как и раньше.
- Это больше алгебра, но те же идеи: $f''>0$ растет, $f''<0$ уменьшается.
Кандидат в точку должен удовлетворять исходному уравнению (лежать на кривой), чтобы считаться.
Проверьте, что точка действительно лежит на кривой, а не только удовлетворяет условию наклона.
Чтобы определить выпуклость на неявно заданной кривой, вам необходимо...
Неявная вторая производная $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ определяет выпуклость по своему знаку.
Для горизонтальных касательных приравняйте числитель $\tfrac{dy}{dx}$ к нулю; для вертикальных касательных приравняйте знаменатель к нулю — не перепутайте их. И точка подходит только если она действительно лежит на кривой: проверьте, что она удовлетворяет исходному уравнению, а не только условию производной.
Найдите горизонтальные и вертикальные касательные к $x^2+y^2=25$.
- $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$.
- Горизонтальные ($\tfrac{dy}{dx}=0$): $x=0\Rightarrow(0,5),(0,-5)$.
- Вертикальные ($\tfrac{dy}{dx}$ не определено): $y=0\Rightarrow(5,0),(-5,0)$.
Проанализируйте неявное соотношение с помощью неявного дифференцирования: $\tfrac{dy}{dx}=0$ (числитель ноль) даёт горизонтальные касательные; $\tfrac{dy}{dx}$ не определено (знаменатель ноль) даёт вертикальные касательные. Продифференцируйте ещё раз неявно для $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ и определите выпуклость по её знаку. Всегда проверяйте, что точки лежат на кривой.