Использование теста второй производной для определения экстремумов
| English | Русский |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | Второй признак монотонности (критерий второй производной) |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | неопределенным |
Классификация экстремума одним числом
- Первый признак производной читает смены знаков; Второй признак производной часто быстрее.
- В критической точке, где $f'(c)=0$, просто проверьте знак $f''(c)$.
- Выпуклость вверх в точке горизонтального касания → впадина; выпуклость вниз в точке горизонтального касания → пик.
- Одно вычисление значения $f''$ решает вопрос — знаковая диаграмма не нужна.
$f''(c) > 0$: минимум
- Если $f'(c)=0$ и $f''(c)>0$, то $f$ имеет относительный минимум в точке $c$.
- Выпуклость вверх (чашка) с горизонтальной касательной = дно впадины.
- Интуитивно: скорость slope равна нулю и возрастает, поэтому кривая поворачивается вверх.
Чаша у минимума, купол у максимума
y = ax³ + cx
В точке локального минимума кривая выпукла вверх ($f''>0$); в точке локального максимума она выпукла вниз ($f''<0$).
Если $f'(c)=0$ и $f''(c)>0$, то точка $c$ является...
Выпуклость вверх в горизонтальной точке = минимум.
$f''(c) < 0$: максимум
- Если $f'(c)=0$ и $f''(c)<0$, то $f$ имеет относительный максимум в точке $c$.
- Выпуклость вниз (купол) с горизонтальной касательной = вершина холма.
- Slope равен нулю и убывает, поэтому кривая поворачивается вниз.
Если $f'(c)=0$ и $f''(c)<0$, то $c$ является относительным ____.
Выпуклость вниз в горизонтальной точке = максимум.
Когда он ничего не говорит
- Если $f''(c)=0$, тест не дает однозначного ответа — он не позволяет сделать вывод.
- Точка может быть максимумом, минимумом или чем-то иным (например, $y=x^3$ при $0$, или $y=x^4$ при $0$).
- В этом случае обратитесь к Тесту первой производной (смене знака $f'$).
- Итого: сначала используйте Тест второй производной, если $f''$ легко вычислить; переключайтесь на первый тест, если $f''(c)=0$.
Если $f''(c)=0$, Тест второй производной доказывает отсутствие экстремума в точке $c$.
Он не дает ответа — используйте вместо этого Тест первой производной.
Для функции $f(x)=x^3-3x$ (при значении $f''=6x$), классифицируйте точку $x=-1$.
$f''(-1)=-6<0$ → относительный максимум.
Тест второй производной применяется в критической точке, где...
Он классифицирует критические точки, где касательная горизонтальна, $f'(c)=0$.
Когда следует обратиться к Тесту первой производной?
Первый тест всегда работает; второй лишь часто быстрее.
Для Второго теста производной требуется, чтобы $f'(c)=0$ было первым, поскольку он классифицирует критические точки, где касательная горизонтальна. А если $f''(c)=0$ не дает однозначного ответа, а не «ни то ни другое»: тогда необходимо использовать Первый тест производной. Не делайте вывод о том, что экстремума нет, только потому, что $f''(c)=0$.
Классифицируйте критические точки функции $f(x)=x^3-3x$ с помощью Второго теста производной $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ при x=$x=\pm1$; значение $\;f''(x)=6x$.
- В точке $x=1$: $f''(1)=6>0$ → относительный минимум.
- При x=$x=-1$: знак $f''(-1)=-6<0$ → относительный максимум.
Второй тест производной: в критической точке, где $f'(c)=0$, значение $f''(c)>0$ указывает на относительный минимум, а отрицательное значение $f''(c)<0$ — на относительный максимум. Если $f''(c)=0$, тест не дает однозначного ответа — используйте Первый тест производной.