Построение графиков функций и их производных
Восстановление графика по его производным
- Производные — это рецепт для построения графика: $f'$ дает наклоны, $f''$ — изгибы.
- Объединив две таблицы знаков, можно нарисовать кривую, которая вам никогда не давалась.
- Экстремумы определяются по $f'$; выпуклость и точки перегиба — по $f''$.
- Здесь все разделы Раздела 5 объединяются в единое целое.
Сводная информация
- Из данных о $f'$: промежутки возрастания/убывания и экстремумы (места, где $f'$ меняет знак).
- Из данных о $f''$: промежутки выпуклости и точки перегиба (места, где $f''$ меняет знак).
- Плюс несколько от plotted точек и любых точек пересечения с осями для фиксации высоты.
- Наложите их друг на друга, и форма будет однозначно определена.
Локальный экстремум функции $f$ возникает в ____ функции $f'$, где она меняет знак.
Нуль, меняющий знак, функции $f'$, обозначает экстремум функции $f$.
Какие особенности следуют из функции $f''$ (второй производной)?
Выпуклость + перегибы исходят из $f''$; возрастание/убывание + экстремумы исходят из $f'$.
Построение графика $f'$ по графику $f$ и обратно
- Зная график функции $f$: там, где функция $f$ имеет горизонтальную касательную, находится $f'=0$ (ноль функции $f'$).
- Там, где функция $f$ растет, функция $f'$ положительна; там, где функция $f$ убывает, функция $f'$ отрицательна.
- Там, где функция $f$ имеет наибольший наклон, функция $f'$ достигает экстремума; в точке перегиба функции $f$ функция $f'$ имеет максимум или минимум.
- Чтение в обратном направлении позволяет построить график функции $f$ по известному графику функции $f'$.
В том месте, где график функции $f$ имеет горизонтальную касательную, график функции $f'$...
Горизонтальная касательная ⇒ наклон $0$ ⇒ $f'=0$.
Там, где функция $f$ возрастает, её производная $f'$ положительна.
Возрастание ⇔ $f'>0$.
Нанесение отметок на набросок
- Отметьте каждый экстремум (пик/впадина), каждую точку перегиба (смена направления изгиба) и подпишите промежутки.
- Сопоставьте «возрастание + выпуклость вверх» (круто изгибается вверх) с «возрастание + выпуклость вниз» (выход на плато) и так далее — четыре комбинации.
- Проверьте согласованность: локальный максимум должен находиться там, где возрастание сменяется убыванием и кривая выпукла вниз.
- Аккуратный набросок показывает, что все четыре признака совпадают.
Готовая форма
y = ax³ + cx
Пик в точке $(-1,2)$, точка перегиба в точке $(0,0)$, впадина в точке $(1,-2)$ — именно то, что предсказывают графики $f'$ и $f''$.
В точке, где функция $f$ высока, но плоская, значение функции $f'$ равно...
Читайте наклон, а не высоту: плоский ⇒ $f'=0$.
Локальный максимум должен возникать там, где $f$ переходит от возрастания к убыванию, а кривая является выпуклой...
Пик является выпуклым вниз (купол).
Не считывайте значения $f'$ по высоте графика функции $f$ — считывайте их по наклону. Там, где функция $f$ высока, но плоская, значение $f'=0$ близко к нулю, а не «велико». А ноль функции $f'$ обозначает возможный экстремум функции $f$; ноль функции $f''$ обозначает возможную точку перегиба функции $f$ — держите эти уровни раздельно.
Подсказки для построения графика функции $f(x)=x^3-3x$.
- Функция $f'=3(x-1)(x+1)$: возрастает на интервалах $(-\infty,-1)$ и $(1,\infty)$, убывает на $(-1,1)$; максимум при x=$(-1,2)$, минимум при x=$(1,-2)$.
- Функция $f''=6x$: выпукла вниз для интервалов $x<0$, выпукла вверх для интервалов $x>0$; точка перегиба при x=$(0,0)$.
- Набросок: поднимается до пика при x=$(-1,2)$, проходит через x=$(0,0)$, опускается до минимума при x=$(1,-2)$, затем снова поднимается.
Чтобы нарисовать график, объедините информацию о $f'$ (возрастание/убывание и экстремумы) с информацией о $f''$ (выпуклость и точки перегиба), а также несколько опорных точек. Знак $f'$ считывается из наклона $f$ (а не его высоты); ноль $f'$ является возможным экстремумом, ноль $f''$ — возможной точкой перегиба.