Определение выпуклости функций на области определения
| English | Русский |
|---|---|
| concavity/kənˈkævɪti/ | выпуклости |
| sign of the second derivative/saɪn ɒvðə ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | знак второй производной |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | выпуклость вверх |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | вогнутость вниз |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | точка перегиба |
Как изгибается кривая
- Возрастание/убывание показывает направление движения кривой; выпуклость/вогнутость показывает как она изгибается.
- Кривая может расти, изгибаясь как чашка (открытая вверх) или как купол (открытый вниз).
- Изгиб определяется знаком второй производной.
- $f''$ измеряет, как сама меняется скорость изменения slope $f'$.
Выпуклая вверх: $f'' > 0$
- Там, где $f''(x)>0$, график выпуклый вниз — имеет форму улыбки, «держит воду».
- Slope $f'$ возрастает (становится более положительным или менее отрицательным).
- Долины формы чаши являются выпуклыми вверх.
- Касательные линии лежат ниже выпуклой вверх кривой.
График является выпуклым вверх ровно там, где...
Выпуклость вверх ⇔ $f''>0$ (наклон увеличивается).
Выпуклость вверх означает, что наклон $f'$ является...
Выпуклость вверх ⇔ $f'$ возрастает ⇔ $f''>0$.
Выпуклый вверх: $f'' < 0$
- Там, где $f''(x)<0$, график выпуклый вверх — имеет форму хмурых губ.
- Slope $f'$ убывает.
- Холмы формы купола являются выпуклыми вниз.
- Касательные линии лежат выше выпуклой вниз кривой.
В месте, где $f''(x)<0$, график является выпуклым ____ (в форме купола).
Отрицательная вторая производная → выпуклость вниз.
Точки перегиба: где меняется изгиб
- Точка перегиба — это место, где меняется выпуклость: с верхней на нижнюю или наоборот.
- Там $f''$ меняет знак (обычно проходя через $0$, иногда не определено).
- Составьте таблицу знаков для $f''$, точно так же, как вы делали это для $f'$, чтобы найти их.
- Точка перегиба касается изменения изгиба, а не скорости slope.
Выпуклость вниз, затем вверх
y = x³
Эта кубическая функция изгибается как купол для $x<0$ и как чаша для $x>0$ — переключение в точке $0$ является точкой перегиба.
Точка перегиба требует, чтобы $f''$ меняла знак, а не просто была равна нулю.
$y=x^4$ имеет корень $f''(0)=0$, но не меняет знак → не точка перегиба.
Для функции $f(x)=x^3$, при значении $f''(x)=6x$. В какой точке $x$ находится точка перегиба?
$f''=6x$ меняет знак в точке $x=0$.
Для функции $y=x^4$, является ли точка $x=0$ точкой перегиба?
$f''=12x^2\ge0$ с обеих сторон — нет смены знака, значит, нет точки перегиба.
Само по себе $f''(c)=0$ не делает $c$ точкой перегиба — $f''$ должно на самом деле менять знак там. Для $y=x^4$, $f''(0)=0$, но $f''\ge0$ с обеих сторон (нет смены знака), поэтому $x=0$ не является точкой перегиба. Проверяйте знак с обеих сторон, а не просто решайте $f''=0$.
Найдите выпуклость и точку перегиба для функции $f(x)=x^3$.
- $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$.
- $f''<0$ указывает на выпуклость вверх для $x<0$; $f''>0$ указывает на выпуклость вниз для $x>0$.
- $f''$ меняет знак при $x=0$ → точка перегиба находится при $(0,0)$.
Выпуклость определяется знаком $f''$: $f''>0$ → выпуклость вниз (чаша), $f''<0$ → выпуклость вверх (крышка). Точка перегиба — это место, где $f''$ меняет знак, то есть изгиб графика меняет направление. $f''=0$ может быть кандидатом, но необходимо подтвердить изменение знака.