Использование Метода Кандидатов для Определения Абсолютных (Глобальных) Экстремумов
| English | Русский |
|---|---|
| Candidates Test/ˈkændɪdeɪts test/ | Кандидатский тест |
Нахождение истинного максимума и минимума
- На замкнутом отрезке теорема о экстремуме гарантирует существование абсолютного максимума и минимума. Где они находятся?
- Они могут быть только в критической точке или на конце отрезка — небольшой список кандидатов.
- Метод кандидатов просто вычисляет $f$ для каждого кандидата и сравнивает результаты.
- Знаковые диаграммы не нужны — наибольшее значение побеждает, наименьшее проигрывает.
Три этапа
- 1. Найдите все критические точки в $[a,b]$ (где $f'=0$ равен нулю или не определен).
- 2. Вычислите значения $f$ в каждой критической точке а также на обоих концах отрезка $a$ и $b$.
- 3. Сравните полученные значения: самое большое является абсолютным максимумом, самое маленькое — абсолютным минимумом.
- Укажите само значение и точку, в которой оно достигается.
Концы отрезка и критические точки
y = ax³ + cx
Абсолютный максимум/минимум на замкнутом интервале скрывается среди концов отрезка и внутренних критических точек — вычислите значения и сравните их.
Чтобы найти абсолютные экстремумы функции на интервале $[a,b]$, нужно вычислить значения функции $f$ в каких точках?
Критические точки плюс оба конца отрезка — это полный список кандидатов.
Не забывайте про концы отрезка
- На замкнутом отрезке экстремумы часто находятся именно на концах, а не в критических точках.
- Монотонная функция (всегда возрастающая) имеет максимум на правом конце и минимум на левом.
- Поэтому всегда включайте $f(a)$ и $f(b)$ в свой список кандидатов.
- Пропуск конца отрезка — самая частая причина получения неверного абсолютного экстремума.
Для функции $f(x)=x^3-3x$ на отрезке $[0,2]$, при значениях $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$, каково абсолютное максимальное значение?
Наибольшее значение среди кандидатов равно $2$ (достигается на конце отрезка $x=2$).
Та же функция и те же кандидаты: каково абсолютное минимальное значение?
Наименьшее значение среди кандидатов равно $-2$ (достигается в точке $x=1$).
Можно пропустить концы отрезка и все равно быть уверенным в наличии абсолютных экстремумов.
Экстремумы часто находятся на концах отрезка; их пропуск может привести к неверному ответу.
Сравнивайте, а не классифицируйте
- В отличие от первого признака производной, метод кандидатов не заботится о типе каждой точки.
- Он просто спрашивает: из всех полученных значений, какое самое большое, а какое самое маленькое?
- Одна вычислительная операция для каждого кандидата, затем сравнение — чисто и надежно на замкнутом отрезке.
- (Он требует замкнутого отрезка; на открытом отрезке абсолютный экстремум может не существовать.)
Тест кандидатов требует ____ интервала, где Теорема о крайних значениях гарантирует существование экстремумов.
На открытом интервале абсолютный экстремум может не существовать.
Абсолютный максимум — это кандидат с наибольшим...
Сравнивайте выходные значения $f(x)$, а не входные.
Метод кандидатов требует замкнутого отрезка $[a,b]$ и обязательно включает концы. Вычисление только критических точек упускает экстремумы, расположенные на $a$ или $b$. И сравнивайте значения $f$-функции, а не значения $x$-аргумента — победителем становится наибольшее значение функции, где бы оно ни находилось.
Найдите абсолютные экстремумы функции $f(x)=x^3-3x$ на отрезке $[0,2]$.
- Критические точки функции $[0,2]$: $f'=3(x-1)(x+1)=0$ при $x=1$ (только $x=1$ входит в диапазон).
- Вычислим значения кандидатов: $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$.
- Абсолютный максимум равен $=2$ при $x=2$ (конец отрезка); абсолютный минимум равен $=-2$ при $x=1$.
Метод кандидатов находит абсолютные экстремумы на замкнутом отрезке: перечислите критические точки и оба конца отрезка, вычислите значения $f$ для каждого, затем сравните. Наибольшее значение = абсолютный максимум, наименьшее = абсолютный минимум. Всегда включайте концы отрезка и сравнивайте значения функции, а не аргументы.