Использование Первого Признака Производной для Определения Относительных (Локальных) Экстремумов
| English | Русский |
|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | Первый признак монотонности (критерий первой производной) |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | относительный (локальный) максимум |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | относительный (локальный) минимум |
Классифицируйте критическую точку по тому, как $f'$ меняет направление
- Критическая точка — это кандидат на экстремум — теперь мы решаем, какой именно это экстремум.
- Первый признак производной анализирует смену знака $f'$ при переходе через эту точку.
- Подъем затем спуск образует пик; спуск затем подъем образует впадину.
- Он использует вашу таблицу знаков из прошлого урока — никаких новых вычислений.
Смена плюса на минус означает максимум
- Если $f'$ меняется с положительного на отрицательный в критической точке $c$, то $f$ имеет там относительный (локальный) максимум.
- Функция росла, выравнивалась, затем упала — вершина холма.
- Прочитайте это прямо из таблицы знаков: $+$ слева от $c$, $-$ справа.
- Значение максимума равно $f(c)$; местонахождение — $x=c$.
Максимум, затем минимум
y = ax³ + cx
Левый бугор — локальный максимум (производная $f'$ меняет знак с $+$ на $-$), а правая впадина — локальный минимум (от $-$ до $+$).
Если производная $f'$ меняет знак с положительного на отрицательный в точке $c$, то в точке $f$ есть...
Рост, затем спуск = вершина холма = локальный максимум.
Смена минуса на плюс означает минимум
- Если $f'$ меняет знак с отрицательного на положительный в точке $c$, то в ней $f$ имеет относительный (локальный) минимум.
- Убывание, затем горизонтальный участок, затем возрастание — это дно «долины».
- Таблица знаков: $-$ слева от $c$, $+$ справа от $c$.
- Если $f'$ не меняет знак в точке $c$, то экстремума там нет (это точка перегиба или горизонтальная касательная).
Если производная $f'$ меняет знак с отрицательного на положительный в точке $c$, то в точке $f$ есть локальный ____.
Спуск, затем подъем = дно долины = локальный минимум.
Алгоритм действий
- Найдите критические точки, составьте таблицу знаков для $f'$ и проанализируйте каждое изменение знака.
- $+\to-$: локальный максимум. $-\to+$: локальный минимум. Без изменения знака: ни то, ни другое.
- Метод работает даже там, где $f'$ не определена (угол), при условии смены знака.
- Это наиболее часто используемый инструмент AP для классификации экстремумов.
Если производная $f'$ имеет одинаковый знак по обе стороны от критической точки, то экстремума там нет.
Отсутствие изменения знака (как у производной $y=x^3$ в точке $0$) означает отсутствие максимума или минимума.
Для функции $f(x)=x^3-3x$ критическая точка $x=1$ является...
Производная $f'$ меняет знак с $-\to+$ на $x=1$ → локальный минимум.
Для функции $f(x)=x^3-3x$ локальный максимум находится в точке $x=-1$. Найдите значение максимума $f(-1)$.
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
Выберите все верные утверждения о первом признаке производной.
Важно именно изменение знака, а не значение производной в точке $c$.
Важна смена знака, а не значение производной $f'$ в точке $c$ (которое там равно $0$ или не существует). Если производная $f'$ сохраняет одинаковый знак с обеих сторон — как в случае с $y=x^3$ в точке $0$ (плюс с обеих сторон) — экстремума нет, даже если это критическая точка.
Классифицируйте критические точки функции $f(x)=x^3-3x$ (точки $f'=3(x-1)(x+1)$).
- При $x=-1$: $f'$ переходит от $+\to-$ (тест $-2$ дает $+$, тест $0$ дает $-$) → локальный максимум.
- При $x=1$: $f'$ переходит от $-\to+$ (тест $0$ дает $-$, тест $2$ дает $+$) → локальный минимум.
- Значения: локальный максимум в $f(-1)=2$, локальный минимум в $f(1)=-2$.
Первый признак экстремума классифицирует критическую точку по смене знака производной $f'$: $+\to-$ — локальный максимум, $-\to+$ — локальный минимум, а отсутствие смены знака означает отсутствие экстремума. Просто считайте пересечения со своей таблицей знаков производной $f'$.