Определение Промежутков, На которых Функция Увеличивается или Уменьшается
| English | Русский |
|---|---|
| sign of the first derivative/saɪn ɒvðə fɜːst dɪˈrɪvətɪv/ | знак первой производной |
| sign chart/saɪn tʃɑːt/ | таблица знаков |
Знак $f'$ раскрывает историю
- То, возрастает или убывает кривая, определяется знаком первой производной.
- $f'(x)>0$ на интервале → $f$ там возрастает (идёт вверх по склону).
- $f'(x)<0$ → $f$ убывает (идёт вниз по склону).
- Чтобы построить карту участков возрастания и убывания $f$, достаточно отслеживать знак $f'$.
Подъем вверх, где f′ > 0
y = ax³ + cx
Кривая растет, где ее наклон положителен, и падает, где отрицателен — знак производной $f'$ определяет поведение каждого участка.
Функция возрастает на интервале тогда и только тогда, когда...
Положительная первая производная означает возрастание.
Составьте таблицу знаков
- Начните с поиска критических точек (где $f'=0$ или она не определена) — они разбивают числовую прямую.
- Нарисуйте таблицу знаков: отметьте критические точки, создавая открытые интервалы между ними.
- Выберите тестовую точку в каждом интервале и проверьте знак $f'$ в ней.
- Одного знака на интервал достаточно — $f'$ не может изменить знак, не пройдя через критическую точку.
Для функции $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ вычислите значение производной $f'(0)$, чтобы проверить средний интервал.
Производная отрицательна ($3(-1)(1)=-3<0$), значит функция $f$ убывает на интервале $(-1,1)$.
Критические точки разбивают числовую прямую на интервалы для ____-таблицы для $f'$.
Таблица знаков отслеживает, где производная $f'$ положительна или отрицательна.
Прочитайте интервалы монотонности
- Каждый интервал, где $f'>0$ положительна, является интервалом возрастания; каждый, где $f'<0$ отрицательна, является интервалом убывания.
- Запишите их в обозначении интервалов: например, возрастает на $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- Используйте область определения функции в качестве внешних границ.
- (Включение критической точки — это вопрос конвенции; AP обычно принимает открытые интервалы.)
Для функции $f(x)=x^3-3x$ (критические точки $\pm1$) выберите все промежутки возрастания.
$f'>0$ вне $[-1,1]$; функция убывает внутри этого интервала.
Почему это работает
- Между двумя последовательными критическими точками $f'$ сохраняет один знак — без смены знака нет нуля или разрыва.
- Поэтому одно тестовое значение определяет знак для всего интервала.
- Эта информация о знаке является основой Первого признака производной (следующий урок).
- Поведение возрастания/убывания точно отражает функция скорости изменения.
Функция, которая отрицательна (ниже оси $x$), все еще может возрастать.
Возрастание зависит от знака производной $f'>0$, а не от знака значений функции $f$.
Одна контрольная точка достаточно для всего интервала, так как производная $f'$ не может изменить знак без...
Изменение знака требует нуля или точки неопределенности производной $f'$.
Следите за знаком производной $f'$, а не за знаком самой функции $f$. Функция может быть отрицательной, но при этом возрастающей (например, поднимается от значения $-5$ к значению $-1$). «Возрастание» означает, что значения функции становятся больше ($f'>0$), независимо от того, находится ли сама функция $f$ выше или ниже оси $x$.
Где возрастает функция $f(x)=x^3-3x$?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$; критические точки $x=-1,1$.
- Тест $x=-2$: $f'>0$. Тест $x=0$: $f'=-3<0$. Тест $x=2$: $f'>0$.
- Возрастает на $(-\infty,-1)$ и $(1,\infty)$; убывает на $(-1,1)$.
Знак $f'$ определяет монотонное поведение: $f'>0$ → возрастание, $f'<0$ → убывание. Разбейте числовую прямую на критические точки, составьте таблицу знаков с одной тестовой точкой на каждый интервал и определите промежутки возрастания и убывания. Отслеживайте знак $f'$, а не $f$.