Теорема о максимальном и минимальном значениях, Глобальные против Локальных Экстремумов и Критические Точки
| English | Русский |
|---|---|
| local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/ | локальный (относительный) экстремум |
| global (absolute) extremum/ˈɡləʊbl ekˈstreməm/ | глобальный (абсолютный) экстремум |
| critical points/ˈkrɪtɪkl pɔɪnts/ | критические точки |
| Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | Теорема Вейерштрасса о достижении экстремума |
Пики, впадины и где их искать
- У гладкого графика есть максимумы и минимумы — производная служит инструментом для их поиска.
- Сначала терминология: локальный (относительный) экстремум — это пик или впадина по сравнению с ближайшими точками.
- Глобальный (абсолютный) экстремум — самый высокий или самый низкий над всем отрезком.
- Кандидатами на оба являются особые точки входа, называемые критическими точками.
"Локальный (относительный) максимум" — это точка, которая является самой высокой по сравнению с...
Локальный = по сравнению с соседними точками; глобальный = на всем интервале.
Теорема о экстремальном значении
- Теорема Вейерштрасса (EVT) гарантирует существование экстремумов — при условии.
- Если $f$ непрерывна на замкнутом интервале $[a,b]$, то $f$ достигает абсолютного максимума и абсолютного минимума на $[a,b]$.
- Непрерывность + замкнутый отрезок — входной билет; уберите одно из них, и максимум или минимум могут не существовать.
- EVT говорит вам, что они существуют; производная помогает их найти.
Теорема о экстремумах (EVT) гарантирует наличие максимума и минимума, когда функция $f$ непрерывна на ____ интервале.
Требуется непрерывность плюс замкнутый интервал.
Критические точки: где могут прятаться экстремумы
- Критическая точка — это внутренняя точка $x$, где $f'(x)=0$ или $f'(x)$ не существует.
- $f'=0$: горизонтальная касательная (гладкий пик или впадина). $f'$ не определена: излом или острый угол.
- Локальные экстремумы могут возникать только в критических точках — нигде больше внутри отрезка.
- Поэтому для поиска экстремумов сначала решите $f'(x)=0$ и отметьте, где $f'$ не определена.
Там, где наклон равен нулю
y = ax³ + cx
В локальном пике или впадине касательная горизонтальна ($f'=0$) — эти входные значения являются критическими точками.
Критическая точка — это внутренняя $x$, где...
Критические точки: $f'=0$ равна нулю или $f'$ не определена.
Локальный vs глобальный — не путайте
- Локальный максимум выше своих непосредственных соседей; глобальный максимум — самый высокий вообще на $[a,b]$.
- Глобальный экстремум на замкнутом отрезке находится либо в критической точке, либо на конце отрезка.
- Не каждая критическая точка является экстремумом (горизонтальная касательная может быть плоским участком на растущей кривой).
- Локальные и глобальные экстремумы — это разные понятия; точка может быть одним из них, но не другим.
Найдите все критические точки функции $f(x)=x^3-3x$.
Значение функции $f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ в точке $x=\pm1$.
Каждая точка, где функция $f'(x)=0$ является локальным максимумом или минимумом.
Функция $y=x^3$ в точке $0$ имеет $f'=0$, но нет экстремума — критическая точка лишь кандидат.
На замкнутом интервале абсолютный экстремум должен достигаться в критической точке или на...
Проверьте критические точки и оба конца отрезка.
$f'(c)=0$ не гарантирует наличие экстремума в $c$. Кривая $y=x^3$ имеет $f'(0)=0$, но $x=0$ не является ни максимумом, ни минимумом — это просто горизонтальная точка перегиба. Критическая точка является лишь кандидатом; её необходимо проверить (уроки 5.4, 5.7). А теорема Вейерштрасса требует одновременно непрерывности и замкнутого интервала.
Найдите критические точки функции $f(x)=x^3-3x$.
- $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
- Приравняйте $f'(x)=0$ к нулю: $x=1$ и $x=-1$ — обе дают горизонтальную касательную.
- $f'$ определена повсеместно (является многочленом), поэтому эти две точки являются единственными критическими точками.
Теорема Вейерштрасса об экстремуме: функция, непрерывная на замкнутом интервале, достигает абсолютного максимума и минимума. Они, а также все локальные экстремумы, могут находиться только в критических точках (где $f'=0$ или она не определена) или на концах интервала. Критическая точка — лишь кандидат, а не гарантия — всегда проверяйте её.