Используя теорему о среднем значении
| English | Русский |
|---|---|
| Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | Теорема Лагранжа о среднем значении |
Где-то мгновенная скорость совпадает со средней
- Проехали $120$ км за $2$ часов: ваша средняя скорость равна $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- В какой-то момент спидометр обязательно показывал ровно $60$ — нельзя получить среднее $60$, не пройдя через него.
- Это интуитивное утверждение — Теорема Лагранжа о средних значениях (MVT).
- Она связывает среднюю скорость изменения на отрезке с мгновенной скоростью в какой-то точке внутри.
Гипотезы — прежде всего
- Для MVT функция $f$ должна быть непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$.
- Если оба условия выполнены, найдётся хотя бы одна точка $c$ в $(a,b)$, для которой
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- Левая часть — мгновенная скорость; правая — средняя скорость на $[a,b]$.
Теорема о среднем значении для $[a,b]$ требует каких условий?
Непрерывна на замкнутом интервале и дифференцируема на открытом. ($f(a)=f(b)$ — дополнительное условие Rolle.)
Теорема о среднем значении гарантирует наличие точки $c$, где $f'(c)$ равно...
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, средней скорости.
Касательная, параллельная хорде
- Правая часть — это наклон хорды, соединяющей концы отрезка.
- Значит, MVT гарантирует точку, где касательная параллельна этой хорде.
- Геометрически: где-то наклон кривой равен общему среднему наклону.
- Как и теорема Больцано-Коши, это теорема существования — она обещает наличие точки $c$, но не её значение.
Касательная параллельна секущей
y = x²
Негде внутри интервала наклон касательной совпадает со средним (секущей) наклоном — эта точка является гарантированным $c$ теоремы о среднем значении.
Геометрически теорема о среднем значении гарантирует наличие касательной, параллельной ____ прямой.
Касательная в точке $c$ параллельна секущей, соединяющей концы отрезка.
Нахождение гарантированной точки $c$
- Чтобы найти $c$: приравняйте $f'(c)$ к средней скорости и решите уравнение относительно $c$ в $(a,b)$.
- Сначала проверьте гипотезы (непрерывность + дифференцируемость) — пропуск этого шага означает неприменимость теоремы.
- Отбросьте все решения, не входящие в открытый интервал $(a,b)$.
- Теорема Лагранжа (MVT) лежит в основе многих последующих результатов (например, «если $f'=0$ повсюду, то $f$ является константой»).
Для функции $f(x)=x^2$ на отрезке $[2,6]$ найдите точку $c$, гарантированную теоремой Лагранжа.
Средний $=\frac{36-4}{4}=8$; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$.
Если у функции $f$ есть «угол» внутри $(a,b)$, теорема о среднем значении все равно гарантированно применима.
«Угол» нарушает дифференцируемость, поэтому условия не выполняются, и теорема о среднем значении может быть неприменима.
Как и теорема о промежуточных значениях (IVT), теорема о среднем значении — это какой вид теоремы?
Она гарантирует существование такой точки $c$ (хотя здесь ее часто можно найти).
Обе гипотезы обязательны. Если у функции $f$ есть излом (не дифференцируема) или разрыв (не непрерывна) на отрезке, MVT может не работать — такой точки $c$ может не быть. Всегда проверяйте, что $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$, прежде чем применять её.
Для функции $f(x)=x^2$ на отрезке $[1,3]$ найдите точку $c$, гарантированную теоремой Лагранжа.
- Средняя скорость: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- Приравняем $f'(x)=2x$, тогда составим уравнение $2c=4\Rightarrow c=2$.
- Точка $c=2$ принадлежит интервалу $(1,3)$ ✓ — там наклон касательной равен среднему наклону $4$.
Теорема о среднем значении: если $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$, то существует некоторый $c\in(a,b)$, для которого выполняется $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — мгновенная скорость равна средней скорости, т. е. касательная параллельна секущей. Проверьте гипотезы, затем решите $f'(c)=$ относительно среднего значения для $c$.