A-Level Mathematics · A-Level Математика · Topic 6 · Тема 6
10:06
Теория вероятностей и статистика 2
Кембридж, девятнадцатые двадцатые годы. На садовом празднике дама говорит кое-что удивительное. Она утверждает, что на вкус отличит, было ли молоко налито в чашку…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
This handout covers Topic 6: Probability & Statistics 概率统计 2. It adds the Poisson model, combining random variables, continuous distributions, and the ideas of estimation and testing.
Этот раздаточный материал охватывает тему 6: Вероятность и статистика 2. Он добавляет пуассоновскую модель, комбинирование случайных величин, непрерывные распределения, а также идеи оценки и проверки гипотез.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • use formulae to calculate probabilities for the distribution $\text{Po}(\lambda)$ | |
| • use the fact that if $X \sim \text{Po}(\lambda)$ then the mean and variance of $X$ are each equal to $\lambda$ | Proofs are not required. |
| • understand the relevance of the Poisson distribution to the distribution of random events, and use the Poisson distribution as a model | |
| • use the Poisson distribution as an approximation to the binomial distribution where appropriate | The conditions that $n$ is large and $p$ is small should be known; $n > 50$ and $np < 5$, approximately. |
| • use the normal distribution, with continuity correction, as an approximation to the Poisson distribution where appropriate. | The condition that $\lambda$ is large should be known; $\lambda > 15$, approximately. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
The Poisson distribution 泊松分布 $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ models the number of random events in a fixed interval, when events happen at a steady average rate $\lambda$:
Worked example. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Find $P(X = 2)$.
Распределение Пуассона $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ моделирует количество случайных событий за фиксированный интервал, когда события происходят со стабильной средней скоростью $\lambda$:
Разобранный пример. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Найдите $P(X = 2)$.
Change the mean λ. Poisson models the number of random events in a fixed interval — rare events give a skewed shape. · Измените среднее λ. Распределение Пуассона моделирует количество случайных событий в фиксированном интервале — редкие события дают скошенную форму.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • use, when solving problems, the results that – $\text{E}(aX + b) = a\text{E}(X) + b$ and $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ – $\text{E}(aX + bY) = a\text{E}(X) + b\text{E}(Y)$ – $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$ for independent $X$ and $Y$ – if $X$ has a normal distribution then so does $aX + b$ – if $X$ and $Y$ have independent normal distributions then $aX + bY$ has a normal distribution – if $X$ and $Y$ have independent Poisson distributions then $X + Y$ has a Poisson distribution. | Proofs of these results are not required. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • использовать при решении задач следующие результаты – $\text{E}(aX + b) = a\text{E}(X) + b$ и $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ – $\text{E}(aX + bY) = a\text{E}(X) + b\text{E}(Y)$ – $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$ для независимых $X$ и $Y$ – если $X$ имеет нормальное распределение, то и $aX + b$ – если $X$ и $Y$ имеют независимые нормальные распределения, то $aX + bY$ имеет нормальное распределение – если $X$ и $Y$ имеют независимые распределения Пуассона, то $X + Y$ имеет распределение Пуассона. | Доказательства этих результатов не требуются. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
When you change a variable by a linear rule, the expectation 期望 (mean) and variance 方差 follow these rules:
Worked example. $X$ has mean $5$ and variance $4$. Find $E(3X - 1)$ and $\mathrm{Var}(3X - 1)$.
При изменении переменной по линейному правилу математическое ожидание (среднее) и дисперсия следуют этим правилам:
Разобранный пример. $X$ имеет среднее $5$ и дисперсию $4$. Найдите $E(3X - 1)$ и $\mathrm{Var}(3X - 1)$.
E(aX + b) = aE(X) + b
Change a scaling factor and see how the expected value scales. · Измените множитель масштабирования и посмотрите, как масштабируется математическое ожидание.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand the concept of a continuous random variable, and recall and use properties of a probability density function | For density functions defined over a single interval only; the domain may be infinite, e.g. $\frac{3}{x^4}$ for $x \geqslant 1$. |
| • use a probability density function to solve problems involving probabilities, and to calculate the mean and variance of a distribution. | Including location of the median or other percentiles of a distribution by direct consideration of an area using the density function. Explicit knowledge of the cumulative distribution function is not included. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • понимать концепцию непрерывной случайной величины и вспоминать и использовать свойства функции плотности вероятности | Только для функций плотности, определенных на одном интервале; область определения может быть бесконечной, напр. $\frac{3}{x^4}$ для $x \geqslant 1$. |
| • использовать функцию плотности вероятности для решения задач, связанных с вероятностями, а также для вычисления среднего арифметического и дисперсии распределения. | Включая определение медианы или других перцентилей распределения прямым рассмотрением площади с использованием функции плотности. Явное знание функции распределения не входит в программу. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A continuous random variable 连续型随机变量 can take any value in a range. Its probabilities come from a probability density function 概率密度函数 $f(x)$, with two key properties:
The cumulative distribution function 累积分布函数 is $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; the median 中位数 solves $F(m) = 0.5$, and other percentiles 百分位数 solve $F(x) = p$.
Worked example. A continuous variable has $f(x) = \tfrac12 x$ for $0 \leqslant x \leqslant 2$ (and $0$ elsewhere). Find $E(X)$.
The variance uses the same idea, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. For the same $f(x)=\tfrac12 x$ on $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, so $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.
Непрерывная случайная величина может принимать любое значение в диапазоне. Ее вероятности определяются функцией плотности вероятности $f(x)$, которая обладает двумя ключевыми свойствами:
Функция распределения есть $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; медиана решает уравнение $F(m) = 0.5$, а другие процентили решают уравнение $F(x) = p$.
Разбор примера. Непрерывная переменная имеет $f(x) = \tfrac12 x$ для $0 \leqslant x \leqslant 2$ (и $0$ в остальных случаях). Найти $E(X)$.
Дисперсия использует ту же идею, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. Для той же $f(x)=\tfrac12 x$ на $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, следовательно $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability is the area under the density curve between two values. · Для непрерывной случайной величины вероятность — это площадь под кривой плотности между двумя значениями.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand the distinction between a sample and a population, and appreciate the necessity for randomness in choosing samples | |
| • explain in simple terms why a given sampling method may be unsatisfactory | Including an elementary understanding of the use of random numbers in producing random samples. Knowledge of particular sampling methods, such as quota or stratified sampling, is not required. |
| • recognise that a sample mean can be regarded as a random variable, and use the facts that $\text{E}(\overline{X}) = \mu$ and that $\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ | |
| • use the fact that $\overline{X}$ has a normal distribution if $X$ has a normal distribution | |
| • use the Central Limit Theorem where appropriate | Only an informal understanding of the Central Limit Theorem (CLT) is required; for large sample sizes, the distribution of a sample mean is approximately normal. |
| • calculate unbiased estimates of the population mean and variance from a sample, using either raw or summarised data | Only a simple understanding of the term 'unbiased' is required, e.g. that although individual estimates will vary the process gives an accurate result 'on average'. |
| • determine and interpret a confidence interval for a population mean in cases where the population is normally distributed with known variance or where a large sample is used | |
| • determine, from a large sample, an approximate confidence interval for a population proportion. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • понимать различие между выборкой и генеральной совокупностью, а также необходимость случайности при отборе выборки | |
| • объяснять простыми словами, почему данный метод выборки может быть неудовлетворительным | Включая элементарное понимание использования случайных чисел для получения случайных выборок. Знание конкретных методов выборки, таких как квотная или стратифицированная выборка, не требуется. |
| • распознавать, что среднее значение выборки можно рассматривать как случайную величину, и использовать факты, что $\text{E}(\overline{X}) = \mu$ и что $\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ | |
| • использовать тот факт, что $\overline{X}$ имеет нормальное распределение, если $X$ имеет нормальное распределение | |
| • применять центральную предельную теорему там, где это уместно | Требуется только неформальное понимание центральной предельной теоремы (ЦПТ); для больших объемов выборки распределение среднего значения выборки приблизительно является нормальным. |
| • вычислять несмещенные оценки генерального среднего и дисперсии по выборке, используя либо сырые, либо сводные данные | Требуется лишь простое понимание термина «несмещенность», например, того, что хотя отдельные оценки будут варьироваться, процесс дает точный результат «в среднем». |
| определять и интерпретировать доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности в случаях, когда генеральная совокупность нормально распределена с известной дисперсией или используется большая выборка | |
| определять по большой выборке приблизительный доверительный интервал для доли генеральной совокупности. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A sample 样本 is a small group chosen from the whole population 总体. A random sample needs randomness 随机性, so that every member has a fair chance of being chosen.
Some methods are unsatisfactory because they are biased 有偏: sampling only volunteers, or the first 20 people to arrive, over-represents certain kinds of people. A genuinely random sample uses random numbers – number every member of the population, then draw numbers (from a table or a generator) to decide who is in the sample.
The sample mean $\bar{X}$ is itself a random variable, with
From a sample you can find unbiased estimates 无偏估计 of the population mean and variance. A confidence interval 置信区间 gives a range that probably contains the true mean. When the population is normal with known $\sigma$ (or the sample is large), a $95\%$ interval is
You can also find a confidence interval for a population proportion 总体比例 from a large sample.
Worked example. A sample of $n = 64$ has mean $\bar{x} = 50$, from a population with $\sigma = 8$. Find a $95\%$ confidence interval for the population mean.
Выборка — небольшая группа, выбранная из всей генеральной совокупности. Случайная выборка требует случайности, чтобы каждый член имел справедливый шанс быть выбранным.
Некоторые методы являются неудовлетворительными, потому что они смещены: опрос только добровольцев или первых 20 прибывших людей дает чрезмерное представительство определенных типов людей. Истинно случайная выборка использует случайные числа — пронумеруйте каждого члена совокупности, затем выберите номера (из таблицы или генератора), чтобы решить, кто попадет в выборку.
Среднее выборки $\bar{X}$ само по себе является случайной величиной, имеющей
По выборке можно найти несмещенные оценки среднего и дисперсии генеральной совокупности. Доверительный интервал дает диапазон, который, вероятно, содержит истинное среднее. Когда генеральная совокупность нормальна с известным $\sigma$ (или выборка велика), доверительный интервал $95\%$ равен
Также можно найти доверительный интервал для доли генеральной совокупности по большой выборке.
Разобранный пример. Выборка из $n = 64$ имеет среднее $\bar{x} = 50$, из совокупности с $\sigma = 8$. Найдите доверительный интервал $95\%$ для среднего генеральной совокупности.
X̄ ~ N(μ, σ²/n)
By the Central Limit Theorem, sample means follow a normal curve — narrower for bigger samples. · Согласно Центральной предельной теореме, выборочные средние следуют нормальному закону — более узкому для больших выборок.
| English | Русский |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | распределение Пуассона |
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | приближение |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | математическое ожидание |
| variance/ˈveərɪəns/ | дисперсией |
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | нормального распределения |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | непрерывная случайная величина |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | функция плотности вероятности |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | функция распределения |
| median/ˈmiːdiːən/ | медианой |
| percentiles/pəˈsentaɪlz/ | перцентилей |
| sample/ˈsæmpl/ | выборка |
| population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ | населением |
| randomness/ˈrændəmnəs/ | случайность |
| biased/ˈbaɪəst/ | предвзяту |
| Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ | Центральная предельная теорема |
| unbiased estimates/ʌnˈbaɪəst ˈestɪməts/ | несмещённые оценки |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | доверительный интервал |
| population proportion/ˌpɒpjʊˈleɪʃn prəˈpɔːʃn/ | доля генеральной совокупности |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand the nature of a hypothesis test, the difference between one-tailed and two-tailed tests, and the terms null hypothesis, alternative hypothesis, significance level, rejection region (or critical region), acceptance region and test statistic | Outcomes of hypothesis tests are expected to be interpreted in terms of the contexts in which questions are set. |
| • formulate hypotheses and carry out a hypothesis test in the context of a single observation from a population which has a binomial or Poisson distribution, using – direct evaluation of probabilities – a normal approximation to the binomial or the Poisson distribution, where appropriate | |
| • formulate hypotheses and carry out a hypothesis test concerning the population mean in cases where the population is normally distributed with known variance or where a large sample is used | |
| • understand the terms Type I error and Type II error in relation to hypothesis tests | |
| • calculate the probabilities of making Type I and Type II errors in specific situations involving tests based on a normal distribution or direct evaluation of binomial or Poisson probabilities. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • понимать суть статистической гипотезы, различие между однонаправленными и двухнаправленными тестами, а также термины нулевая гипотеза, альтернативная гипотеза, уровень значимости, область отклонения (или критическая область), область принятия и тестовая статистика | Ожидаются результаты статистических гипотез, которые должны интерпретироваться с учетом контекста поставленных вопросов. |
| • формулировать гипотезы и проводить статистическую гипотезу в контексте одиночного наблюдения из генеральной совокупности, имеющей биномиальное или распределение Пуассона, используя – прямую оценку вероятностей – нормальное приближение биномиального или распределения Пуассона, где это уместно | |
| • формулировать гипотезы и проводить статистическую гипотезу относительно среднего значения генеральной совокупности в случаях, когда генеральная совокупность нормально распределена с известной дисперсией или используется большая выборка | |
| • понимать термины ошибка I рода и ошибка II рода в отношении статистических гипотез | |
| • вычислять вероятности совершения ошибок I и II рода в конкретных ситуациях, связанных с тестами, основанными на нормальном распределении или прямой оценке биномиальных или пуассоновских вероятностей. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A hypothesis test 假设检验 uses sample data to judge a claim. You set up two statements: the null hypothesis 原假设 $H_0$ (the claim being tested, usually "no change") and the alternative hypothesis 备择假设 $H_1$ (what you suspect instead). The test is one-tailed 单尾 if $H_1$ points one way (e.g. $\mu > 50$) and two-tailed 双尾 if it allows both ways ($\mu \neq 50$).
You fix a significance level 显著性水平 (often $5\%$), work out a test statistic 检验统计量 from the data, and see whether it lands in the rejection region 拒绝域 (also called the critical region); if it does you reject $H_0$, otherwise the statistic is in the acceptance region.
Two mistakes are possible: a Type I error 第一类错误 is rejecting $H_0$ when it is actually true; a Type II error 第二类错误 is accepting $H_0$ when it is actually false. You can find their probabilities from the rejection region: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – this equals the significance level – and $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ true for a stated value$)$, computed from the binomial, Poisson, or normal distribution.
Worked example. A population is claimed to have mean $50$, with $\sigma = 8$. A sample of $n = 64$ gives $\bar{x} = 52$. Test at the $5\%$ level whether the mean has changed.
$H_0\!: \mu = 50$ and $H_1\!: \mu \neq 50$ (two-tailed). The test statistic is
Worked example (a binomial test). A coin is claimed fair but suspected of landing heads too rarely: $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. In $n=30$ tosses you see $X=9$ heads. Under $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, so the one-tailed tail probability is
Проверка гипотезы использует данные выборки для оценки утверждения. Вы устанавливаете два высказывания: нулевая гипотеза $H_0$ (проверяемое утверждение, обычно «нет изменений») и альтернативная гипотеза $H_1$ (то, что вы подозреваете вместо этого). Тест является односторонним, если $H_1$ указывает в одну сторону (например, $\mu > 50$), и двусторонним, если он допускает оба направления ($\mu \neq 50$).
Вы устанавливаете уровень значимости (часто $5\%$), вычисляете тестовую статистику по данным и смотрите, попадает ли она в область отклонения (также называемую критической областью); если да, вы отвергаете $H_0$, иначе статистика находится в области принятия.
Возможны две ошибки: Ошибка I рода — это отвержение $H_0$, когда оно на самом деле истинно; Ошибка II рода — это принятие $H_0$, когда оно на самом деле ложно. Вы можете найти их вероятности из области отклонения: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ — это уровень значимости — и $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ для указанного значения$)$, вычисленного по биномиальному, пуассоновскому или нормальному распределению.
Разобранный пример. Утверждается, что среднее значение генеральной совокупности равно $50$, при $\sigma = 8$. Выборка объемом $n = 64$ дает результат $\bar{x} = 52$. Проведите тест на уровне $5\%$, чтобы проверить, изменилось ли среднее значение.
$H_0\!: \mu = 50$ и $H_1\!: \mu \neq 50$ (двусторонний). Тестовая статистика равна
Разобранный пример (биномиальный тест). Монета считается честной, но подозревается, что она слишком редко выпадает орлом: $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. При $n=30$ бросках вы观察到 $X=9$ орлов. При $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, поэтому односторонняя вероятность хвоста составляет
reject H₀ if z < −z* · отклонить H₀ если z < −z*
The shaded tail is the rejection region — if the test statistic lands there, reject H₀. · Заштрихованный хвост — это критическая область — если статистика критерия попадает туда, отклоните H₀.
| English | Русский |
|---|---|
| hypothesis test/haɪˈpɒθəsɪs test/ | статистическая гипотеза |
| null hypothesis/nʌl haɪˈpɒθəsɪs/ | нулевая гипотеза |
| alternative hypothesis/ɔːlˈtɜːnətɪv haɪˈpɒθəsɪs/ | альтернативная гипотеза |
| one-tailed/wʌn teɪld/ | односторонним |
| two-tailed/tuː teɪld/ | двусторонним |
| significance level/sɪɡˈnɪfɪkəns ˈlevl/ | уровень значимости |
| test statistic/test stəˈtɪstɪk/ | статистика теста |
| rejection region/rɪˈdʒekʃn ˈriːdʒn/ | область отвержения |
| Type I error/taɪp aɪ ˈerə/ | ошибка I рода |
| Type II error/taɪp ˈtuː ˈerə/ | ошибка II рода |
| Probability & Statistics/ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | Теория вероятностей и статистика |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Past Papers · Архив экзаменационных работ
Loading subjects… · Загрузка предметов…