A-Level Mathematics · A-Level Математика · Topic 4 · Тема 4
12:38
Механика
Толкните тележку для покупок, и она ускорится. Толкайте сильнее, и она ускорится быстрее. Толкните более тяжелую с тем же усилием, и она едва сдвинется с места. Вся механика…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
This handout covers Topic 4: Mechanics 力学. It studies how forces make objects move. Throughout this topic, take the acceleration of free fall as $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Этот материал охватывает Раздел 4: Механика. Он изучает, как силы заставляют объекты двигаться. На протяжении всего раздела принимайте ускорение свободного падения равным $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| identify the forces acting in a given situation | e.g. by drawing a force diagram. |
| understand the vector nature of force, and find and use components and resultants | Calculations are always required, not approximate solutions by scale drawing. |
| use the principle that, when a particle is in equilibrium, the vector sum of the forces acting is zero, or equivalently, that the sum of the components in any direction is zero | Solutions by resolving are usually expected, but equivalent methods (e.g. triangle of forces, Lami's Theorem, where suitable) are also acceptable; these other methods are not required knowledge, and will not be referred to in questions. |
| understand that a contact force between two surfaces can be represented by two components, the normal component and the frictional component | |
| use the model of a 'smooth' contact, and understand the limitations of this model | |
| understand the concepts of limiting friction and limiting equilibrium, recall the definition of coefficient of friction, and use the relationship $F = \mu R$ or $F \leqslant \mu R$, as appropriate | Terminology such as 'about to slip' may be used to mean 'in limiting equilibrium' in questions. |
| use Newton's third law. | e.g. the force exerted by a particle on the ground is equal and opposite to the force exerted by the ground on the particle. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| идентифицировать силы, действующие в данной ситуации | Например, с помощью рисунка сил. |
| понимать векторную природу силы, находить и использовать компоненты и равнодействующую | Вычисления всегда обязательны; приближенные решения с помощью построения по масштабу не допускаются. |
| использовать принцип: если частица находится в равновесии, векторная сумма действующих на нее сил равна нулю, или эквивалентно — сумма компонент в любом направлении равна нулю | Обычно требуется решение методом разложения сил, но допустимы и эквивалентные методы (например, правило треугольника сил, теорема Лами при соответствующих условиях); эти другие методы не являются обязательными для заучивания и не будут упоминаться в вопросах. |
| понимать, что сила контакта между двумя поверхностями может быть представлена двумя компонентами: нормальной составляющей и силой трения | |
| использовать модель «гладкого» контакта и понимать ограничения этой модели | |
| понимать концепции предельного трения и предельного равновесия, знать определение коэффициента трения и использовать соотношение $F = \mu R$ или $F \leqslant \mu R$ в зависимости от ситуации | В вопросах термины вроде «вот-вот скользнуть» могут использоваться как синонимы «предельное равновесие». |
| использовать третий закон Ньютона. | Например: сила, с которой частица действует на поверхность, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой поверхность действует на частицу. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A force 力 is a push or a pull. It is a vector, so it has size and direction. Because it is a vector, you can split a force into components 分量 (usually horizontal and vertical), and you can add several forces into one resultant 合力.
A particle is in equilibrium 平衡 when the forces are balanced: the vector sum of the forces is zero. In practice this means the components in any direction add to zero.
When two surfaces touch, the contact force 接触力 between them has two parts: the normal reaction 法向反作用力 $R$, at right angles to the surface, and the friction 摩擦力 $F$, along the surface, which opposes sliding. A "smooth" surface is a model with no friction.
Friction can only grow up to a maximum. At that maximum the body is in limiting equilibrium 极限平衡, about to slip, and the friction is limiting friction 最大静摩擦力. The maximum is set by the coefficient of friction 摩擦系数 $\mu$:
By Newton's third law 牛顿第三定律, the two surfaces push on each other with equal and opposite forces.
Worked example. A block of weight $20\text{ N}$ rests on a rough horizontal table with coefficient of friction $\mu = 0.4$. Find the largest horizontal force that can be applied before the block slides.
The table's normal reaction balances the weight, so $R = 20\text{ N}$. The block is on the point of slipping when friction reaches its maximum $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. In equilibrium the applied force equals the friction, so the largest force it can resist is $8\text{ N}$.
Сила — это толчок или тяга. Это вектор, поэтому она имеет величину и направление. Поскольку сила является вектором, ее можно разложить на компоненты (обычно горизонтальные и вертикальные), а несколько сил можно сложить в одну равнодействующую.
Частица находится в равновесии, когда силы скомпенсированы: векторная сумма сил равна нулю. На практике это означает, что компоненты в любом направлении в сумме дают ноль.
Когда две поверхности касаются друг друга, контактная сила между ними состоит из двух составляющих: нормальной реакции $R$, перпендикулярной поверхности, и трения $F$, направленной вдоль поверхности, которое препятствует скольжению. «Гладкая» поверхность — это модель без трения.
Трение может возрастать только до определённого максимума. При этом максимуме тело находится в предельном равновесии, готовом скользить, а трение называется граничным трением. Максимальное значение определяется коэффициентом трения $\mu$:
Согласно третьему закону Ньютона, две поверхности действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
Разобранный пример. Брусок весом $20\text{ N}$ покоится на шероховатом горизонтальном столе с коэффициентом трения $\mu = 0.4$. Найдите максимальную горизонтальную силу, которую можно приложить до того, как брусок начнёт скользить.
Нормальная реакция стола компенсирует вес, поэтому $R = 20\text{ N}$. Брурок вот-вот соскользнет, когда трение достигнет своего максимума $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. В состоянии равновесия приложенная сила равна силе трения, поэтому максимально возможная сила сопротивления составляет $8\text{ N}$.
resultant = a + b · равнодействующая = a + b
Forces add tip-to-tail. They are in equilibrium when the resultant is zero. · Силы складываются конец к концу. Они находятся в равновесии, когда равнодействующая равна нулю.
| English | Русский |
|---|---|
| Mechanics/mɪˈkænɪks/ | Механика |
| force/fɔːs/ | сила |
| components/kəmˈpəʊnənts/ | компоненты |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | результирующая |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | равновесные |
| contact force/ˈkɒntækt fɔːs/ | контактная сила |
| normal reaction/ˈnɔːml rɪˈækʃn/ | реакция опоры |
| friction/ˈfrɪkʃn/ | трение |
| limiting friction/ˈlɪmɪtɪŋ ˈfrɪkʃn/ | трение покоя |
| coefficient of friction/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv ˈfrɪkʃn/ | коэффициент трения |
| Newton's third law/ˈnjuːtnz θɜːd lɔː/ | третьего закона Ньютона |
| distance/ˈdɪstəns/ | расстояние |
| speed/spiːd/ | скорости движения |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | перемещение |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the concepts of distance and speed as scalar quantities, and of displacement, velocity and acceleration as vector quantities | Restricted to motion in one dimension only. The term 'deceleration' may sometimes be used in the context of decreasing speed. |
| sketch and interpret displacement–time graphs and velocity–time graphs, and in particular appreciate that – the area under a velocity–time graph represents displacement, – the gradient of a displacement–time graph represents velocity, – the gradient of a velocity–time graph represents acceleration | |
| use differentiation and integration with respect to time to solve simple problems concerning displacement, velocity and acceleration | Calculus required is restricted to techniques from the content for Paper 1: Pure Mathematics 1. |
| use appropriate formulae for motion with constant acceleration in a straight line. | Questions may involve setting up more than one equation, using information about the motion of different particles. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать понятия расстояние и скорость как скалярные величины, а также перемещения, скорости и ускорения как векторные величины | Ограничивается движением только в одном измерении. Термин «замедление» иногда используется в контексте уменьшения скорости. |
| строить и интерпретировать графики перемещения от времени и графики скорости от времени, а также особенно учитывать следующее: – площадь под графиком скорости от времени представляет собой перемещение, – наклон графика перемещения от времени представляет собой скорость, – наклон графика скорости от времени представляет собой ускорение | |
| использовать дифференцирование и интегрирование по времени для решения простых задач о перемещении, скорости и ускорении | Необходимые методы математического анализа ограничиваются техниками из содержания раздела Paper 1: Чистая математика 1. |
| использовать соответствующие формулы для движения с постоянным ускорением по прямой. | Вопросы могут требовать составления более одного уравнения с использованием информации о движении различных частиц. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
Distance 距离 and speed 速率 are scalars (size only). Displacement 位移, velocity 速度 and acceleration 加速度 are vectors (size and direction).
On a velocity-time graph 速度时间图, the area under the graph is the displacement and the gradient is the acceleration (a negative acceleration is a deceleration 减速度). On a displacement-time graph, the gradient is the velocity. More generally, differentiate with respect to time to go from displacement to velocity to acceleration, and integrate to go back.
For motion with constant acceleration 匀加速, use these formulae (the "suvat" equations):
Worked example. A car starts from rest and accelerates at $2.5\ \text{m s}^{-2}$ for $4\ \text{s}$. Find its speed and the distance travelled.
Пройденный путь и скорость — скалярные величины (только величина). Перемещение, скорость и ускорение — векторные (величина и направление).
На графике зависимости скорости от времени площадь под кривой равна перемещению, а наклон градиента — ускорению (отрицательное ускорение — это замедление). На графике зависимости перемещения от времени наклон равен скорости. В общем случае дифференцирование по времени позволяет перейти от перемещения к скорости, а затем к ускорению; интегрирование — обратно.
Для движения с постоянным ускорением используйте эти формулы (уравнения «суват»):
Разобранный пример. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и движется с ускорением $2.5\ \text{m s}^{-2}$ в течение $4\ \text{s}$. Найдите его скорость и пройденный путь.
Change the start velocity and acceleration. The gradient is the acceleration; the area under the line is the displacement. · Измените начальную скорость и ускорение. Наклон — это ускорение; площадь под линией — это перемещение.
| English | Русский |
|---|---|
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | скорость |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | ускорения |
| velocity-time graph/vəˈlɒsɪti taɪm ɡræf/ | графика зависимости скорости от времени |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | постоянное ускорение |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the definition of linear momentum and show understanding of its vector nature | For motion in one dimension only. |
| use conservation of linear momentum to solve problems that may be modelled as the direct impact of two bodies. | Including direct impact of two bodies where the bodies coalesce on impact. Knowledge of impulse and the coefficient of restitution is not required. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| использовать определение линейного импульса и демонстрировать понимание его векторной природы | Только для движения в одном измерении. |
| использовать закон сохранения линейного импульса для решения задач, которые можно смоделировать как прямое столкновение двух тел. | Включает прямое столкновение двух тел, где тела сливаются при ударе. Знание импульса силы и коэффициента восстановления не требуется. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
The linear momentum 动量 of a body is $\text{mass} \times \text{velocity}$. It is a vector. In a direct collision of two bodies, the total momentum is unchanged. This is the conservation of linear momentum 动量守恒:
Worked example. A body of mass $2\ \text{kg}$ moving at $3\ \text{m s}^{-1}$ hits a stationary body of mass $1\ \text{kg}$, and they stick together. Find their common speed afterwards.
Линейный импульс тела равен $\text{mass} \times \text{velocity}$. Это векторная величина. При прямом столкновении двух тел суммарный импульс сохраняется. Это закон сохранения линейного импульса:
Разобранный пример. Тело массой $2\ \text{kg}$, движущееся со скоростью $3\ \text{m s}^{-1}$, ударяет о неподвижное тело массой $1\ \text{kg}$, и они слипаются. Найдите их общую скорость afterwards.
Set each mass and speed and collide them. Total momentum stays the same before and after. · Установите массу и скорость каждого объекта и столкните их. Общий импульс остается прежним до и после столкновения.
| English | Русский |
|---|---|
| momentum/məʊˈmentəm/ | импульс |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | сохранения импульса |
| Newton's laws of motion/ˈnjuːtnz lɔːz ɒv ˈməʊʃn/ | Законы Ньютона о движении |
| mass/mæs/ | масса |
| weight/weɪt/ | вес |
| tension/ˈtenʃn/ | натяжение |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • apply Newton’s laws of motion to the linear motion of a particle of constant mass moving under the action of constant forces, which may include friction, tension in an inextensible string and thrust in a connecting rod | If any other forces resisting motion are to be considered (e.g. air resistance) this will be indicated in the question. |
| • use the relationship between mass and weight | $W = mg$. In this component, questions are mainly numerical, and use of the approximate numerical value $10\text{ (ms}^{-2}\text{)}$ for $g$ is expected. |
| • solve simple problems which may be modelled as the motion of a particle moving vertically or on an inclined plane with constant acceleration | Including, for example, motion of a particle on a rough plane where the acceleration while moving up the plane is different from the acceleration while moving down the plane. |
| • solve simple problems which may be modelled as the motion of connected particles. | e.g. particles connected by a light inextensible string passing over a smooth pulley, or a car towing a trailer by means of either a light rope or a light rigid tow-bar. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • применять законы Ньютона к линейному движению частицы постоянной массы под действием постоянных сил, которые могут включать трение, натяжение невесомой нерастяжимой нити и тягу соединительного стержня | Если необходимо учесть любые другие силы, препятствующие движению (например, сопротивление воздуха), это будет указано в условии задачи. |
| • использовать соотношение между массой и весом | $W = mg$. В этом разделе вопросы преимущественно численные, ожидается использование приближенного числового значения $10\text{ (ms}^{-2}\text{)}$ для $g$. |
| • решать простые задачи, которые можно смоделировать как движение частицы вертикально или по наклонной плоскости с постоянным ускорением | Например, движение частицы по шероховатой плоскости, где ускорение при движении вверх по плоскости отличается от ускорения при движении вниз. |
| • решать простые задачи, которые можно смоделировать как движение связанных частиц. | Например: частицы, соединенные легкой невесомой нерастяжимой нитью через гладкий блок, или автомобиль, буксирующий прицеп с помощью легкой веревки или легкого жесткого тягового бруса. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
Newton's laws of motion 牛顿运动定律 connect force and acceleration. The key one is: resultant force $=$ mass 质量 $\times$ acceleration,
For motion on an inclined plane 斜面, split each force into a part along the slope and a part at right angles to it, then apply $F = ma$ along the slope. For connected particles 连接质点 (joined by a string), apply $F = ma$ to each body, or to the whole system.
Worked example. A block of mass $12\ \text{kg}$ is pulled up a rough plane by a rope parallel to the slope. The plane is at $20^\circ$ to the horizontal, the coefficient of friction is $0.4$, and the acceleration is $2\ \text{m s}^{-2}$. Find the tension in the rope.
The normal reaction is $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, so the friction is $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. Along the slope, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$:
Законы Ньютона связывают силу и ускорение. Ключевой закон гласит: результирующая сила $=$ масса $\times$ ускорение,
Для движения на наклонной плоскости разложите каждую силу на составляющую вдоль ската и перпендикулярную ей, затем примените $F = ma$ вдоль ската. Для связанных тел (соединенных нитью) применяйте $F = ma$ к каждому телу или ко всей системе.
Разобранный пример. Брусок массой $12\ \text{kg}$ тянут вверх по шероховатой плоскости веревкой, параллельной скату. Плоскость расположена под углом $20^\circ$ к горизонту, коэффициент трения равен $0.4$, а ускорение составляет $2\ \text{m s}^{-2}$. Найдите натяжение веревки.
Нормальная реакция равна $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, значит трение равно $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. Вдоль склона: $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$:
F = ma
The resultant force sets the acceleration. Balanced forces ⇒ no acceleration. · Результирующая сила задает ускорение. Сбалансированные силы ⇒ нет ускорения.
| English | Русский |
|---|---|
| inclined plane/ɪnˈklaɪnd pleɪn/ | наклонная плоскость |
| connected particles/kəˈnektɪd ˈpɑːtɪklz/ | связанные тела |
| work done/wɜːk dʌn/ | совершенная работа |
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | кинетическую энергию |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | гравитационная потенциальная энергия |
| conservation of energy/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv ˈenədʒi/ | закон сохранения энергии |
| power/ˈpaʊə/ | мощность |
| limiting equilibrium/ˈlɪmɪtɪŋ ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | предельное равновесие |
| deceleration/dɪˌseləˈreɪʃn/ | замедление |
| thrust/θrʌst/ | тяга |
| air resistance/eə rɪˈzɪstəns/ | сопротивление воздуха |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand the concept of the work done by a force, and calculate the work done by a constant force when its point of application undergoes a displacement not necessarily parallel to the force | $W = Fd \cos \theta$; Use of the scalar product is not required. |
| • understand the concepts of gravitational potential energy and kinetic energy, and use appropriate formulae | |
| • understand and use the relationship between the change in energy of a system and the work done by the external forces, and use in appropriate cases the principle of conservation of energy | Including cases where the motion may not be linear (e.g. a child on a smooth curved ‘slide’), where only overall energy changes need to be considered. |
| • use the definition of power as the rate at which a force does work, and use the relationship between power, force and velocity for a force acting in the direction of motion | Including calculation of (average) power as $$\frac{\text{Work done}}{\text{Time taken}}$$ $P = Fv$. |
| • solve problems involving, for example, the instantaneous acceleration of a car moving on a hill against a resistance. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • понять понятие работы, совершаемой силой, и вычислять работу постоянной силы, когда точка ее приложения претерпевает перемещение, не обязательно параллельное самой силе | $W = Fd \cos \theta$; Использование скалярного произведения не требуется. |
| • понять концепции потенциальной энергии гравитации и кинетической энергии, а также использовать соответствующие формулы | |
| понимать и использовать связь между изменением энергии системы и работой внешних сил, а также в подходящих случаях применять принцип сохранения энергии | Включая случаи, когда движение может быть нелинейным (например, ребенок на гладкой изогнутой «горке»), где учитываются только общие изменения энергии. |
| использовать определение мощности как скорости совершения работы силой, а также соотношение между мощностью, силой и скоростью для силы, действующей вдоль направления движения | Включая вычисление (средней) мощности как $$\frac{\text{Work done}}{\text{Time taken}}$$ $P = Fv$. |
| решать задачи,涉及的例如汽车在爬坡时受到阻力作用的瞬时加速度. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
The work done 功 by a constant force is the scalar product of force and displacement — the force times the distance moved in the direction of the force: $W = Fd\cos\theta$, where $\theta$ is the angle between the force and the motion. Work is measured in joules (J).
Energy comes in forms you can calculate:
The work done by the outside forces equals the change in the total energy. When no friction acts, the total energy stays the same — the conservation of energy 能量守恒.
Power 功率 is the rate of doing work. For a force pulling in the direction of motion, $P = Fv$ (power $=$ force $\times$ velocity). Power is measured in watts (W).
Worked example. A car engine works at $12\ \text{kW}$ while the car moves at $20\ \text{m s}^{-1}$ on a level road. Find the driving force.
Работа, совершаемая постоянной силой, равна скалярному произведению силы и перемещения — силе, умноженной на расстояние, пройденное в направлении силы: $W = Fd\cos\theta$, где $\theta$ — угол между силой и движением. Работа измеряется в джоулях (Дж).
Энергия существует в формах, которые можно рассчитать:
Работа внешних сил равна изменению полной энергии. Когда трение отсутствует, полная энергия сохраняется — это закон сохранения энергии.
Мощность — это скорость совершения работы. Для силы, тянущей в направлении движения, $P = Fv$ (мощность $=$ сила $\times$ скорость). Мощность измеряется в ваттах (Вт).
Разобранный пример. Двигатель автомобиля развивает мощность $12\ \text{kW}$, пока автомобиль движется со скоростью $20\ \text{m s}^{-1}$ по горизонтальной дороге. Найдите движущую силу.
Drop the object and watch energy change form. With no friction, GPE + KE stays constant the whole way down. · Отпустите объект и наблюдайте за изменением формы энергии. Без трения потенциальная + кинетическая энергия остаются неизменными на всем пути вниз.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Past Papers · Архив экзаменационных работ
Loading subjects… · Загрузка предметов…