Этот раздаточный материал охватывает Тема 3: Чистая математика 3. Подтемы 3.1–3.6 основываются на алгебре, логарифмах, тригонометрии, дифференцировании, интегрировании и численных методах Чистой математики 2, поэтому этот раздаточный материал объясняет, что является новым в Pure 3, а затем охватывает три большие новые области: векторы, дифференциальные уравнения и комплексные числа.
Чистая математика 3
A-Level Математика · Тема 3
13:36
Чистая математика 3
На протяжении веков математики упирались в стену: что такое квадратный корень из минус одного? Никакое обычное число при возведении в квадрат не дает отрицательного результата. Они называли это невозможным, и…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
3.1
Алгебра
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • понимать значение $|x|$, строить график функции $y = |ax + b|$ и использовать соотношения, такие как $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ и $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$, при решении уравнений и неравенств | Графики $y = |\text{f}(x)|$ и $y = \text{f}(|x|)$ для нелинейных функций $\text{f}$ не включены. например, $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • делить полином степени не выше 4 на линейный или квадратичный полином и определять частное и остаток (которые могут быть равны нулю) | |
| использовать теорему о делителе и теорему об остатке | например, для нахождения делителей и остатков, решения полиномиальных уравнений или вычисления неизвестных коэффициентов. Включая делители вида $(ax + b)$, где коэффициент при $x$ не равен единице, а также вычисление остатков. |
| вспомнить соответствующую форму для представления рациональных функций в виде простейших дробей и выполнять разложение в случаях, когда знаменатель не сложнее, чем – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | Исключаются случаи, когда степень числителя превышает степень знаменателя. |
| • использовать разложение $(1 + x)^n$, где $n$ — рациональное число и $|x| < 1$. | Нахождение общего члена в разложении не включено. Адаптация стандартного ряда для разложения, например, $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$, включена, а также определение множества значений $x$, при которых разложение верно в таких случаях, также включено. |
Источник: Программа Cambridge International
Два новых инструмента присоединяются к алгебре из Pure 2.
Разложение на простейшие дроби
Одна дробь с факторизованной знаменателем может быть разбита на сумму более простых дробей. Это называется разложением на простейшие дроби, и это делает рациональную функцию (дробь полиномов) легкой для интегрирования или разложения. Сопоставьте форму со знаменателем:
Сначала проверьте, что чиситель имеет меньшую степень, чем знаменатель. Если нет («перегружен сверху»), разделите многочлен сначала: деление дает частное плюс остаток, деленный на исходный знаменатель, и вы разбиваете только эту оставшуюся правильную дробь.
Одна дробь с факторизованной знаменателей распадается на сумму более простых дробей.
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
Разобранный пример. Представьте $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ в виде простейших дробей.
Запишите $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, поэтому $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Подставьте $x = 2$: $6 = 3B$, поэтому $B = 2$. Подставьте $x = -1$: $3 = -3A$, поэтому $A = -1$. Отсюда
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
Биномиальное разложение для рациональной степени
Биномиальное разложение также работает, когда степень является дробью или отрицательной, при условии что $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
Например $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ для $|x| < 1$.
Исследовать
Обратные кривые
y = a/(x − b) + c
Разложение на простейшие дроби разбивает сложную дробь на простые обратные части — каждая с вертикальной и горизонтальной асимптотой.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Чистая математика (Pure Mathematics) |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | разложения на простейшие дроби |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | рациональная функция |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | частное |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | остаток |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | биномиальное разложение |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | смена знака |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | итерационная формула |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | обратными величинами |
| secant/ˈsiːkənt/ | секающую |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | косеканс |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | котангенс |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | сходится |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | арктангенс |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | Интегрирование по частям |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | Интегрирование заменой |
3.2 3.3 3.6
Логарифмы, тригонометрия и численные методы (из Pure 2)
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать связь между логарифмами и показателями (степенями), а также использовать законы логарифмов (за исключением смены основания) | |
| понимать определение и свойства $e^x$ и $\ln x$, включая их связь как обратных функций и их графики | Включая знание графика $y = e^{kx}$ как для положительных, так и для отрицательных значений $k$. |
| использовать логарифмы для решения уравнений и неравенств, в которых неизвестное встречается в показателе | например, $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| использовать логарифмы для преобразования заданной зависимости к линейному виду и, следовательно, определять неизвестные константы, рассматривая наклон и/или пересечение с осью. | например, $y = kx^n$ приводит к $\ln y = \ln k + n \ln x$, которое является линейным относительно $\ln x$ и $\ln y$. $y = k(a^x)$ приводит к $\ln y = \ln k + x \ln a$, которое является линейным относительно $x$ и $\ln y$. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать связь между функциями секанс, косеканс и котангенс с косинусом, синусом и тангенсом, а также использовать свойства и графики всех шести тригонометрических функций для углов любой величины | |
| использовать тригонометрические тождества для упрощения и точного вычисления выражений, а также при решении уравнений, и выбирать подходящие тождества в зависимости от контекста, демонстрируя особую familiarity с использованием: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ и $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – разложений $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ и $\tan(A \pm B)$ – формул для $\sin 2A$, $\cos 2A$ и $\tan 2A$ – представления $a \sin \theta + b \cos \theta$ в формах $R \sin(\theta \pm \alpha)$ и $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | например, упрощение $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. например, решение $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • приблизительно находить корень уравнения, используя графические соображения и/или поиск смены знака | например, нахождение пары последовательных целых чисел, между которыми лежит корень. |
| • понимать идею и знать обозначение для последовательности приближений, которая сходится к корню уравнения | |
| • понимать, как заданная простая итерационная формула вида $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ связана с решаемым уравнением, и использовать заданную итерацию или итерацию, основанную на заданном преобразовании уравнения, чтобы найти корень с требуемой точностью. | Знание условия сходимости не требуется, но ожидается понимание того, что итерация может не сходиться. |
Источник: Программа Cambridge International
Подтемы 3.2, 3.3 и 3.6 — это те же навыки, которые вы встретили в Pure 2: законы логарифмов с $e^x$ и $\ln x$; тождества $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ и $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, формулы двойного угла и суммарного угла, а также форма $R$ для $a\sin\theta + b\cos\theta$; и решение уравнения численным методом с помощью смены знака и итерационной формулы $x_{n+1} = F(x_n)$. Используйте их точно так же, как раньше.
Три новые тригонометрические функции являются обратными знакомым: секанс $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, косеканс $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ и котангенс $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Подсказка для запоминания: сопоставьте третью букву — sec подходит к cosine.) Два пифагоровых тождества выше следуют непосредственно из деления $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ на $\cos^2\theta$ или $\sin^2\theta$. Для численного метода итерация $x_{n+1}=F(x_n)$ сходится к корню, когда последовательные значения становятся ближе друг к другу.
Исследовать
Единичная окружность
(cos θ, sin θ)
Формула R переписывает a sin θ + b cos θ как одну волну — и всё это resides на этой окружности.
3.4
Дифференцирование
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| использовать производные от $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$, вместе с постоянными множителями, суммами, разностями и композициями | Производные от $\sin^{-1} x$ и $\cos^{-1} x$ не требуются. |
| дифференцировать произведения и дроби | например, $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$. |
| находить и использовать первую производную функции, заданной параметрически или неявно. | например, $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. например, $x^2 + y^2 = xy + 7$. Включая применение в задачах, связанных с касательными и нормлями. |
Источник: Программа Cambridge International
Методы — это методы Pure 2 (правила произведения, частного и сложной функции, параметрические и неявные кривые). Добавляется одна производная — арктангенс:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
Разобранный пример. Найдите производную от $y = \tan^{-1}(3x)$.
Используйте правило сложной функции с результатом выше: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
Исследовать
Наклон касательной в точке
наклон = dy/dx
Независимо от того, явное оно или неявное, производная — это всё ещё наклон касательной — перетащите точку, чтобы увидеть это.
3.5
Интегрирование
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| расширить понятие «обратного дифференцирования» для включения интегрирования $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ и $\frac{1}{x^2 + a^2}$ | Включая примеры, такие как $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| использовать тригонометрические соотношения при выполнении интегрирования | например, использование формул двойного угла для интегрирования $\sin^2 x$ или $\cos^2(2x)$. |
| интегрировать рациональные функции с помощью разложения на простые дроби | Ограничивается типами простых дробей, указанными в теме 3.1 выше. |
| распознавать подынтегральную функцию вида $\frac{k f'(x)}{f(x)}$ и интегрировать такие функции | например, интегрирование $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$. |
| распознавать случаи, когда подынтегральную функцию целесообразно рассматривать как произведение, и использовать интегрирование по частям | например, интегрирование $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$. |
| использовать заданную замену переменной для упрощения и вычисления определенного или неопределенного интеграла. | например, интегрирование $\sin^2 2x \cos x$ с помощью замены $u = \sin x$. |
Источник: Программа Cambridge International
Pure 3 добавляет несколько мощных методов.
- Новый стандартный интеграл: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Разложение на простейшие дроби: сначала разбейте рациональную функцию, затем проинтегрируйте каждую часть как логарифм.
- Паттерн $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: он интегрируется до $k\ln|f(x)| + C$. Например $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- Интегрирование по частям, используемое для произведения: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Интегрирование заменой: заданная замена переменной превращает сложный интеграл в простой.
Разобранный пример. Найдите $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
Используйте интегрирование по частям с $u = x$ и $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, поэтому $\dfrac{du}{dx} = 1$ и $v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
Исследовать
Площадь под кривой
площадь = ∫ f(x) dx
Любой метод интегрирования просто измеряет эту площадь — перетащите пределы, чтобы получить итоговое значение.
3.7
Векторы
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • использовать стандартные обозначения для векторов, т.е. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • выполнять сложение и вычитание векторов, а также умножение вектора на скаляр, и интерпретировать эти операции геометрически | например, утверждение «$OABC$ является параллелограммом» эквивалентно $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. Общий вид теоремы о делении отрезка в заданном отношении не включается, но ожидается понимание того, что середина отрезка $AB$ имеет радиус-вектор $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$. |
| • вычислять модуль вектора и использовать единичные векторы, векторы перемещения и радиус-векторы | В измерениях 2 или 3. |
| • понимать значение всех символов при записи уравнения прямой в виде $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$ и находить уравнение прямой, з достаточное количество информации | например, нахождение уравнения прямой, если известен радиус-вектор точки на прямой и направляющий вектор, или радиус-векторы двух точек на прямой. |
| • определять, являются ли две прямые параллельными, пересекаются они или являются скрещивающимися, и находить точку пересечения двух прямых, если она существует | Вычисление кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми не требуется. Нахождение уравнения общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым также не требуется. |
| • использовать формулы для вычисления скалярного произведения двух векторов и применять скалярные произведения в задачах, связанных с прямыми и точками. | Например, нахождение угла между двумя прямыми и нахождение основания перпендикуляра из точки на прямую; вопросы могут включать задачи с 3D-объектами, такими как прямоугольные параллелепипеды, тетраэдры (пирамиды) и т.д. Знание векторного произведения не требуется. |
Источник: Программа Cambridge International
Вектор имеет величину и направление. Запишите его как столбец, или как $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, или как $\overrightarrow{AB}$.
- Величина (длина) вектора $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ равна $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- Единичный вектор имеет величину $1$; чтобы получить такой, разделите вектор на его величину.
- Вектор положения указывает местоположение точки относительно начала координат; вектор перемещения $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ идет от одной точки к другой. Умножение на скаляр (просто число) растягивает вектор.
Прямые и скалярное произведение
Прямая, проходящая через точку $\mathbf{a}$ в направлении $\mathbf{b}$, имеет векторное уравнение $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Две прямые могут быть параллельны, пересекаться в точке или быть скрещивающимися (не параллельны и никогда не пересекаются).
Скалярное (точечное) произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ равно
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
где $\theta$ — угол между ними. Таким образом, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ означает, что векторы перпендикулярны.
Разбор примера. Найдите угол между векторами $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ и $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
Таким образом, $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, что дает результат $\theta = 27.3^\circ$.
Исследовать
Сложение векторов и скалярное произведение
Перетащите два вектора. Видите равнодействующий (конец к началу) и скалярное произведение, которое равно нулю, когда они перпендикулярны.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | векторное |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | величина |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | единичный вектор |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | вектор положения |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | вектор перемещения |
| scalar/ˈskeɪlə/ | скаляр |
| parallel/ˈpærəlel/ | параллельно |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | пересекаться |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | скрещивающиеся прямые |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | скалярное произведение |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | дифференциальное уравнение |
| separable/ˈsepərəbl/ | разделяемое |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | общее решение |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | начальное условие |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | частное решение |
3.8
Дифференциальные уравнения
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| составлять простое выражение, содержащее скорость изменения, в виде дифференциального уравнения | Введение и вычисление константы пропорциональности там, где это необходимо, включено. |
| методом интегрирования находить общий вид решения для дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными | Включая любые методы интегрирования из темы 3.5 выше. |
| использовать начальное условие для нахождения частного решения | |
| интерпретировать решение дифференциального уравнения в контексте задачи, моделируемой данным уравнением. | Если дифференциальное уравнение используется для моделирования реальной ситуации, специальная knowledge контекста не потребуется. |
Источник: Программа Cambridge International
Дифференциальное уравнение связывает величину с её скоростью изменения. Чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, поместите все члены со $y$ в одну сторону, а все члены со $x$ — в другую, затем проинтегрируйте обе части. Это даст общее решение, содержащее константу. Начальное условие (известное значение) определяет константу и дает частное решение.
Разбор примера. Решите уравнение $\dfrac{dy}{dx} = xy$, зная, что $y = 1$ при $x = 0$.
Разделите переменные и проинтегрируйте:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
Использование условия $y = 1$ при значении $x = 0$ дает $A = 1$, следовательно, $y = e^{x^2/2}$.
Исследовать
Поле направлений
Каждая маленькая линия показывает наклон $\frac{dy}{dx}$ в этой точке. Решающая кривая следует стрелкам — измените начальную точку, чтобы увидеть другую.
3.9
Комплексные числа
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать понятие комплексного числа, вспомнить значения терминов действительная часть, мнимая часть, модуль, аргумент, сопряженное число и использовать тот факт, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части | Обозначения $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$ должны быть известны. Аргумент комплексного числа обычно относится к углу $\theta$, такому что $-\pi < \theta \leqslant \pi$, но в некоторых случаях интервал $0 \leqslant \theta < 2\pi$ может быть удобнее. Ответы могут использовать любой из интервалов, если вопрос не указывает иное. |
| выполнять действия сложения, вычитания, умножения и деления двух комплексных чисел, заданных в декартовой форме $x + \text{i}y$ | Для вычислений, включающих умножение или деление, следует приводить полные детали вычислений. |
| использовать результат о том, что для многочленного уравнения с вещественными коэффициентами любые немнимые корни встречаются парами сопряженных чисел | Например, при решении кубического или четвертой степени уравнения, где дан один комплексный корень. |
| геометрически представлять комплексные числа с помощью диаграммы Арганда | |
| выполнять действия умножения и деления двух комплексных чисел, заданных в полярной форме $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | Включая результаты $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ и $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$, а также соответствующие результаты для деления. |
| находить два квадратных корня комплексного числа | например, квадратные корни из $5 + 12\text{i}$ в точной декартовой форме. Должны быть приведены полные детали вычислений. |
| в простых терминах понимать геометрические эффекты сопряжения комплексного числа, а также сложения, вычитания, умножения и деления двух комплексных чисел | |
| иллюстрировать простые уравнения и неравенства, содержащие комплексные числа, с помощью множеств точек на диаграмме Арганда | Например, $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$. |
Источник: Программа Cambridge International
A complex number has the form $z = x + iy$, where $i^2 = -1$. Here $x$ is the real part and $y$ is the imaginary part. This $x + iy$ is the Cartesian form. Two complex numbers are equal only when their real parts match and their imaginary parts match.
- Сопряженное число для $z = x + iy$ равно $z^* = x - iy$. Для многочлена с действительными коэффициентами любые ненулевые корни появляются сопряженными парами.
- Модуль равен $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (расстояние от начала координат), а аргумент — это угол, который точка образует с положительным направлением действительной оси.
- Вы можете построить график точки $z$ на диаграмме Арганда (комплексной плоскости).
- Полярная форма записывается как $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, где $r = |z|$, а $\theta$ — это аргумент. При умножении перемножаются модули, а аргументы складываются.
- Множества точек, удовлетворяющих условию относительно $z$, изображаются на диаграмме Арганда — например, $|z - a| = r$ представляет собой окружность, $|z - a| = |z - b|$ — серединный перпендикуляр, а $\arg(z - a) = \theta$ — луч. Корни квадратные из комплексного числа находятся путем решения уравнения $w^2 = z$.
Для деления умножьте числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя.
Разбор примера. Представьте $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ в виде $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
Уравнение или неравенство относительно $z$ описывает геометрическое место точек (траекторию или область) на диаграмме Арганда. Например, $|z - a| = r$ — это окружность радиуса $r$ с центром в точке $a$.
Исследовать
Диаграмма Арганда
Перетащите точку. Комплексное число $a + bi$ — это точка на плоскости; его модуль — расстояние от начала координат, а аргумент — угол.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | комплексное число |
| real part/rɪəl pɑːt/ | действительная часть |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | мнимая часть |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | декартова форма |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | сопряженный |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | модуль |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | аргумент |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма Арганда |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | полярная форма |
| locus/ˈləʊkəs/ | локус |
3.9
Советы для экзамена
- Разложите рациональную дробь на простые дроби перед интегрированием или разложением.
- Выберите правильный метод интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям или простые дроби) в зависимости от вида подынтегрального выражения.
- Используйте скалярное (точечное) произведение для нахождения угла между векторами и проверки перпендикулярности; запишите прямую как $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Представляйте комплексные числа в требуемом виде (декартовом или в форме модуля-аргумента) и отображайте их на диаграмме Арганда.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.