Algebraic fractions · Frações algébricas
| English | Português |
|---|---|
| algebraic fractions/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈfrækʃnz/ | frações algébricas |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | fatorar |
| cancel/ˈkænsl/ | cancelam |
| common denominator/ˈkɒmən dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador comum |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | recíproco |
When fractions have letters
- A baker halves a recipe, then thirds it again — that's $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ of the original.
- Algebraic fractions 代数分式 work exactly the same way, but the numbers are replaced by expressions. The rules don't change.
Quando frações têm letras
- Um padeiro reduz uma receita pela metade, depois por três novamente — isso é $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ do original.
- Frações algébricas funcionam exatamente da mesma forma, mas os números são substituídos por expressões. As regras não mudam.
Algebraic fraction route · Rota para frações algébricas
Simplify algebraic fractions by factorising before cancelling. · Simplifique frações algébricas fatorando antes de cancelar.
Simplifying algebraic fractions
- Factorise 因式分解 the numerator and denominator, then cancel 约分 any common factors.
- $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{x}{x-3}$.
Factorise first, then cancel. You cannot cancel individual terms: $\dfrac{x+2}{x+3} \neq \dfrac{2}{3}$. The $+2$ and $+3$ are not factors — they are terms inside a sum.
Expanding a bracket with an area model
Simplificando frações algébricas
- Fatore o numerador e o denominador, depois simplifique quaisquer fatores comuns.
- $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{x}{x-3}$.
Fatore primeiro, depois cancele. Você não pode cancelar termos individuais: $\dfrac{x+2}{x+3} \neq \dfrac{2}{3}$. Os $+2$ e $+3$ não são fatores — são termos dentro de uma soma.
Expandindo um colchete com um modelo de área
Simplify (x² − 2x)/(x² − 5x + 6). · Simplifique (x² − 2x)/(x² − 5x + 6).
Factorise: x(x−2) / [(x−2)(x−3)], cancel (x−2) → x/(x−3). · Fatore: x(x−2) / [(x−2)(x−3)], cancele (x−2) → x/(x−3).
(x + 2)/(x + 3) simplifies to 2/3. · (x + 2)/(x + 3) simplifica para 2/3.
You can only cancel common FACTORS, not terms in a sum. x+2 and x+3 share no common factor. · Você só pode cancelar FATORES comuns, não termos em uma soma. x+2 e x+3 não compartilham fator comum.
Adding and subtracting
- Find a common denominator 公分母, just as with ordinary fractions.
- $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{2x}{6} + \dfrac{3(x-4)}{6} = \dfrac{2x + 3x - 12}{6} = \dfrac{5x - 12}{6}$.
Expand carefully. $3(x-4) = 3x - 12$ (not $3x - 4$). Every term inside the bracket must be multiplied.
Somando e subtraindo
- Encontre um denominador comum, assim como com frações ordinárias.
- $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{2x}{6} + \dfrac{3(x-4)}{6} = \dfrac{2x + 3x - 12}{6} = \dfrac{5x - 12}{6}$.
Expanda com cuidado. $3(x-4) = 3x - 12$ (não $3x - 4$). Todo termo dentro do colchete deve ser multiplicado.
Add x/3 + (x−4)/2 over a common denominator of 6. · Some x/3 + (x−4)/2 sobre um denominador comum de 6.
2x/6 + 3(x−4)/6 = (2x + 3x − 12)/6 = (5x − 12)/6.
To add algebraic fractions, you must first find a common ______. · Para somar frações algébricas, você deve primeiro encontrar um ______ comum.
Just like with numeric fractions, you need a common denominator before adding or subtracting. · Assim como com frações numéricas, você precisa de um denominador comum antes de somar ou subtrair.
Multiplying and dividing
- Multiply: tops × tops, bottoms × bottoms — same as ordinary fractions.
- Divide: multiply by the reciprocal 倒数 of the second fraction.
- $\dfrac{x+1}{x-2} \div \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x+1}{x-2} \times \dfrac{x}{x+3} = \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+3)}$.
Multiplicando e dividindo
- Multiplicar: cima × cima, baixo × baixo — igual a frações comuns.
- Divida: multiplique pelo inverso da segunda fração.
- $\dfrac{x+1}{x-2} \div \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x+1}{x-2} \times \dfrac{x}{x+3} = \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+3)}$.
To divide algebraic fractions, multiply by the reciprocal of the second one. · Para dividir frações algébricas, multiplique pelo inverso da segunda fração.
Division by a fraction is multiplication by its reciprocal, just as with numbers. · A divisão por uma fração é a multiplicação pelo seu inverso, assim como com números.
Worked example
- Simplify $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$.
- Factorise: numerator $= (x+3)(x-3)$, denominator $= (x+2)(x+3)$.
- Cancel $(x+3)$: result $= \dfrac{x-3}{x+2}$.
Factorising is the key to both solving quadratics and simplifying algebraic fractions.
Exemplo resolvido
- Simplifique $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$.
- Fatore: numerador $= (x+3)(x-3)$, denominador $= (x+2)(x+3)$.
- Cancele $(x+3)$: resultado $= \dfrac{x-3}{x+2}$.
Fatorar é a chave tanto para resolver quadráticas quanto para simplificar frações algébricas.
Simplify (x² − 9)/(x² + 5x + 6). · Simplifique (x² − 9)/(x² + 5x + 6).
(x+3)(x−3) / [(x+2)(x+3)], cancel (x+3) → (x−3)/(x+2). · (x+3)(x−3) / [(x+2)(x+3)], cancele (x+3) → (x−3)/(x+2).
Keep the excluded values
- Cancelling a factor does not restore a forbidden input. $x(x-2)/((x-2)(x-3))=x/(x-3)$, but the original still excludes $x=2$ and $x=3$.
- For $(x+1)/(x-2)\div((x+3)/x)$, exclude $x=2,0$ because of denominators, and $x=-3$ because the divisor is zero. Write these restrictions before cancelling.
Mantenha os valores excluídos
- Simplificar um fator não restabelece uma entrada proibida. $x(x-2)/((x-2)(x-3))=x/(x-3)$, mas o original ainda exclui $x=2$ e $x=3$.
- Para $(x+1)/(x-2)\div((x+3)/x)$, exclua $x=2,0$ devido aos denominadores e $x=-3$ porque o divisor é zero. Escreva essas restrições antes de simplificar.
For (x² − 9)/(x² + 5x + 6), which excluded input besides −2 must remain after cancelling? · Para (x² − 9)/(x² + 5x + 6), qual entrada excluída além de −2 deve permanecer após a simplificação?
The original denominator is (x+2)(x+3), so x = −3 stays excluded. · O denominador original é (x+2)(x+3), então x = −3 permanece excluído.
You've got it
- simplify: factorise top and bottom, cancel common brackets
- add/subtract: find a common denominator, combine numerators
- multiply/divide: as with ordinary fractions (divide = × the reciprocal)
- never cancel terms inside a sum — only cancel factors
Entendeu?
- simplifique: fatore topo e base, cancele colchetes comuns
- some/subtraia: encontre um denominador comum, combine os numeradores
- multiplique/divida: como com frações comuns (dividir = × o recíproco)
- nunca cancele termos dentro de uma soma — só cancele fatores