Carrying Out a Two-Way Chi-Square Test · Realizando um Teste Qui-Quadrado Bidimensional
Compute the statistic
- The chi-square statistic is the same sum over every cell of the table:
-
$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- Use each cell's observed count and its expected count from 8.4.
- Add all the cell terms into one $\chi^2$.
Calcular a estatística
- A estatística qui-quadrado é a mesma soma sobre todas as células da tabela:
-
$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- Use a contagem observada de cada célula e sua contagem esperada de 8.4.
- Some todos os termos das células em um único $\chi^2$.
Find the p-value
- Use the chi-square distribution with $df = (\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$.
- The p-value is the right-tail area beyond your $\chi^2$.
- A large $\chi^2$ → small p-value → strong evidence against $H_0$.
- Get the correct $df$ from the table's shape, not the sample size.
Encontrar o p-valor
- Use a distribuição qui-quadrado com $df = (\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$.
- O p-valor é a área da cauda direita além do seu $\chi^2$.
- Um grande $\chi^2$ → pequeno valor-p → forte evidência contra $H_0$.
- Obtenha o $df$ correto da forma da tabela, não do tamanho da amostra.
Make a decision
- Compare the p-value to $\alpha$:
- p $\le \alpha$ → reject $H_0$; p $> \alpha$ → fail to reject.
- Reject: the groups differ (homogeneity) or the variables are associated (independence).
- Fail to reject: not convincing evidence of a difference/association.
Tomar uma decisão
- Compare o p-valor a $\alpha$:
- p $\le \alpha$ → rejeite $H_0$; p $> \alpha$ → não rejeite.
- Rejeitar: os grupos diferem (homogeneidade) ou as variáveis estão associadas (independência).
- Não rejeitar: não há evidências convincentes de diferença/associação.
Conclude in context
- For homogeneity: "convincing evidence the distributions differ across the groups" (if rejected).
- For independence: "convincing evidence the two variables are associated" (if rejected).
- Name the variables/groups and the actual context.
- Failing to reject never proves the groups are the same / variables independent.
Concluir no contexto
- Para homogeneidade: "evidências convincentes de que as distribuições diferem entre os grupos" (se rejeitado).
- Para independência: "evidências convincentes de que as duas variáveis estão associadas" (se rejeitado).
- Nomeie as variáveis/grupos e o contexto real.
- Não rejeitar nunca prova que os grupos são iguais / variáveis independentes.
Word the conclusion to match the test. Reject in a homogeneity test → the group distributions differ; reject in an independence test → the variables are associated. Don't say "the variables are related" for a homogeneity design, or "the groups differ" for an independence design — the math is shared but the claim is not.
Redija a conclusão para corresponder ao teste. Rejeitar em um teste de homogeneidade → as distribuições dos grupos diferem; rejeitar em um teste de independência → as variáveis estão associadas. Não diga "as variáveis estão relacionadas" para um desenho de homogeneidade, ou "os grupos diferem" para um desenho de independência — a matemática é compartilhada, mas a afirmação não é.
A $2\times2$ independence test gives $\chi^2 = 6.0$, $df = 1$, $\alpha = 0.05$.
- p-value: right-tail area beyond $6.0$ at $df=1 \approx 0.014$.
- Decide: $0.014 \le 0.05$ → reject $H_0$.
- Conclude: convincing evidence the two variables are associated (in context).
Um teste de independência $2\times2$ resulta em $\chi^2 = 6.0$, $df = 1$, $\alpha = 0.05$.
- p-valor: área da cauda direita além de $6.0$ em $df=1 \approx 0.014$.
- Decidir: $0.014 \le 0.05$ → rejeite $H_0$.
- Concluir: evidências convincentes de que as duas variáveis estão associadas (no contexto).
Compute $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed}-\text{expected})^2}{\text{expected}}$ over all cells, find the right-tail p-value at $df = (\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$, and compare to $\alpha$. Word the conclusion to match the design: distributions differ (homogeneity) or variables associated (independence), in context.
Calcule $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed}-\text{expected})^2}{\text{expected}}$ sobre todas as células, encontre o p-valor da cauda direita em $df = (\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$, e compare com $\alpha$. Redija a conclusão para corresponder ao desenho: distribuições diferem (homogeneidade) ou variáveis associadas (independência), no contexto.
The right-tailed chi-square area · A área cauda-direita do qui-quadrado
The p-value is the right-tail area at df = (r−1)(c−1). · O p-valor é a área da cauda-direita em df = (r−1)(c−1).
With χ² = 6.0 at df = 1, the p-value ≈ 0.014. At α = 0.05, the decision is... · Com χ² = 6.0 em gl = 1, o valor-p ≈ 0.014. Em α = 0.05, a decisão é...
0.014 ≤ 0.05 → reject H0. · 0.014 ≤ 0.05 → rejeitar H0.
Rejecting H0 in a test of INDEPENDENCE means... · Rejeitar H0 em um teste de INDEPENDÊNCIA significa...
Independence: reject → the variables are associated. · Independência: rejeitar → as variáveis estão associadas.
Rejecting H0 in a test of HOMOGENEITY means... · Rejeitar H0 em um teste de HOMOGENEIDADE significa...
Homogeneity: reject → the group distributions differ. · Homogeneidade: rejeitar → as distribuições dos grupos diferem.
The p-value for a two-way chi-square test is a right-tail area. · O p-valor para um teste qui-quadrado bidimensional é uma área da cauda-direita.
Chi-square is always right-tailed. · Qui-quadrado é sempre cauda-direita.
For a 3×4 two-way table, find the degrees of freedom (r−1)(c−1). · Para uma tabela bidimensional 3×4, encontre os graus de liberdade (r−1)(c−1).
(3−1)(4−1) = 2×3 = 6.