Linear and Exponential Functions · Funções Lineares e Exponenciais
| English | Português |
|---|---|
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | função linear |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | função exponencial |
| proportional/prəˈpɔːʃənl/ | proporcional |
Add versus multiply, again
- Two savings plans: one adds $\$100$ a year, the other grows by $10\%$ a year.
- At first the flat $\$100$ looks better, but the percentage plan quietly pulls ahead.
- These are the two great patterns of change: linear and exponential.
- They are the continuous cousins of arithmetic and geometric sequences.
Some versus multiplique, novamente
- Dois planos de poupança: um adiciona $\$100$ a year, the other grows by $10\%$ por ano.
- No início, o $\$100$ plano fixo parece melhor, mas o plano percentual silenciosamente toma a frente.
- Estes são os dois grandes padrões de mudança: linear e exponencial.
- Eles são os primos contínuos das sequências aritméticas e geométricas.
Arithmetic pairs with linear
- An arithmetic sequence adds a constant; a linear function 线性函数 does the same for every input.
- Over each equal step in $x$, a line adds the same amount to $y$ — its constant slope.
- Plot the arithmetic terms and they land right on a straight line.
- Steady addition is the fingerprint of linear change.
Pares aritméticos com lineares
- Uma sequência aritmética adiciona uma constante; uma função linear 线性函数 faz o mesmo para cada entrada.
- Em cada passo igual em $x$, uma linha adiciona a mesma quantidade a $y$ — sua inclinação constante.
- Plote os termos aritméticos e eles cairão exatamente em uma linha reta.
- Adição constante é a impressão digital da mudança linear.
Over equal input intervals, a linear function changes by… · Sobre intervalos de entrada iguais, uma função linear muda por…
A line has a constant slope, so equal steps in $x$ add the same amount to $y$ — like an arithmetic sequence. · Uma linha tem inclinação constante, então passos iguais em $x$ somam a mesma quantidade a $y$ — como uma sequência aritmética.
Geometric pairs with exponential
- A geometric sequence multiplies by a constant; an exponential function 指数函数 does the same continuously.
- Over each equal step in $x$, an exponential multiplies $y$ by the same factor.
- So the outputs form a geometric sequence: $a, ab, ab^2, ab^3, \dots$
- Steady multiplication is the fingerprint of exponential change.
Pares geométricos com exponenciais
- Uma sequência geométrica multiplica por uma constante; uma função exponencial 指数函数 faz o mesmo continuamente.
- Em cada passo igual em $x$, uma exponencial multiplica $y$ pelo mesmo fator.
- Então as saídas formam uma sequência geométrica: $a, ab, ab^2, ab^3, \dots$
- Multiplicação constante é a impressão digital da mudança exponencial.
Watch an exponential outrun any straight line · Observe como uma exponencial supera qualquer linha reta
y = a·bˣ
Raise the base b above 1 and the curve multiplies each step, soon leaving any line behind. Set b below 1 to get decay. · Eleva a base b acima de 1 e a curva multiplica a cada passo, deixando rapidamente qualquer linha para trás. Defina b abaixo de 1 para obter declínio.
Over equal input intervals, an exponential function changes by… · Sobre intervalos de entrada iguais, uma função exponencial muda por…
An exponential multiplies by the same factor each equal step — the continuous version of a geometric sequence. · Uma exponencial multiplica pelo mesmo fator a cada passo igual — a versão contínua de uma sequência geométrica.
Proportional change
- Exponential growth is proportional 成比例 change: each increase is a percentage of the current amount.
- Grow $10\%$ a year and the yearly gain gets bigger as the total gets bigger.
- Linear growth adds the same absolute amount regardless of the current size.
- "Percentage per period" always signals an exponential, never a line.
Mudança proporcional
- Crescimento exponencial é mudança proporcional 成比例: cada aumento é uma porcentagem da quantidade atual.
- Crescer $10\%$ por ano faz com que o ganho anual aumente conforme o total fica maior.
- Crescimento linear adiciona a mesma quantidade absoluta independentemente do tamanho atual.
- "% por período" sempre sinaliza uma exponencial, nunca uma linha.
Exponential change is ____ change: the increase is a fixed percentage of the current amount. · Mudança exponencial é mudança ____: o aumento é uma porcentagem fixa do valor atual.
Proportional change means each step scales with the current value — grow 10% of whatever you have now. · Proporcional significa que cada etapa escala com o valor atual — cresça 10% de tudo o que você tem agora.
A population that doubles every year is best modeled by an exponential function. · Uma população que dobra a cada ano é melhor modelada por uma função exponencial.
Doubling is multiplying by 2 each year — a constant factor over equal intervals, the signature of exponential growth. · Dobrar é multiplicar por 2 a cada ano — um fator constante sobre intervalos iguais, a assinatura do crescimento exponencial.
Select all · todos true statements. · Selecione todas as afirmações verdadeiras.
Adding equal amounts is linear, not exponential. The other three correctly pair the ideas. · Adicionar quantidades iguais é linear, não exponencial. As outras três associam corretamente as ideias.
Spotting which model
- Look at how the data changes over equal steps: constant difference → linear; constant ratio → exponential.
- A table helps: subtract to test for linear, divide to test for exponential.
- Over a long enough range, exponential growth beats any linear function, no matter how steep.
- Match the model to the pattern of change before you fit numbers.
Identificando qual modelo
- Olhe como os dados mudam em passos iguais: diferença constante → linear; razão constante → exponencial.
- Uma tabela ajuda: subtraia para testar linear, divida para testar exponencial.
- Em uma faixa suficientemente longa, o crescimento exponencial supera qualquer função linear, não importa quão íngreme seja.
- Combine o modelo ao padrão de mudança antes de ajustar os números.
Do not judge by the first few values. Early on a line can sit above an exponential, so a quick glance misleads. Test the pattern of change — same difference or same ratio — not just the current heights.
Não julgue pelos primeiros poucos valores. No início, uma linha pode ficar acima de uma exponencial, então uma olhada rápida engana. Teste o padrão de mudança — mesma diferença ou mesma razão — não apenas as alturas atuais.
A pond's lily pads: $10, 20, 40, 80, \dots$ each day.
- Each day the count is multiplied by $2$ — a constant ratio.
- Constant ratio → an exponential function, not a line.
- Rule: pads $= 10 \cdot 2^{\,d}$, doubling without limit until the pond fills.
Um lago de nenúfares: $10, 20, 40, 80, \dots$ a cada dia.
- A cada dia a contagem é multiplicada por $2$ — uma razão constante.
- Razão constante → uma função exponencial, não uma linha.
- Regra: nenúfares $= 10 \cdot 2^{\,d}$, dobrando sem limite até o lago encher.
An arithmetic sequence pairs with a linear function (adds a constant); a geometric sequence pairs with an exponential function (multiplies by a constant). Exponential growth is proportional — a percentage of the current amount — and it eventually overtakes any line.
Uma sequência aritmética pares com uma função linear (adição constante); uma sequência geométrica pares com uma função exponencial (multiplicação constante). O crescimento exponencial é proporcional — uma porcentagem da quantidade atual — e eventualmente ultrapassa qualquer linha.