Lagrange Error Bound · Limite de Erro de Lagrange
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| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | limite de erro de Lagrange |
Bounding a Taylor polynomial's error
- A Taylor polynomial is only an approximation. How wrong can it be?
- The Lagrange error bound 拉格朗日误差界 gives a guaranteed ceiling on the remainder.
- It uses the next derivative — the first one the polynomial didn't match.
- With it, you can prove an approximation is accurate to a required tolerance.
Limitando o erro de um polinômio de Taylor
- Um polinômio de Taylor é apenas uma aproximação. Quão errado ele pode ser?
- O limite de erro de Lagrange 拉格朗日误差界 dá um teto garantido para o resto.
- Ele usa a próxima derivada — a primeira que o polinômio não combinou.
- Com ele, você pode provar que uma aproximação tem precisão exigida.
The bound
- The error of the degree-$n$ Taylor polynomial $P_n$ at $x$ satisfies:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- Here $M$ is a maximum of $\big|f^{(n+1)}\big|$ on the interval between $a$ and $x$.
- It looks like the next Taylor term, but with the derivative replaced by its worst-case size $M$.
O limite
- O erro do polinômio de Taylor de grau-$n$ $P_n$ em $x$ satisfaz:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- Aqui $M$ é um máximo de $\big|f^{(n+1)}\big|$ no intervalo entre $a$ e $x$.
- Parece o próximo termo de Taylor, mas com a derivada substituída pelo seu tamanho máximo $M$.
The gap the bound caps · A lacuna que o limite capsula
y = a·e^{bx}
The Lagrange bound caps the gap between $e^x$ and its Taylor polynomial using the next derivative's maximum $M$. · O limite de Lagrange capsula a lacuna entre $e^x$ e seu polinômio de Taylor usando o máximo da próxima derivativa $M$.
The Lagrange error bound is $|R_n(x)|\le$ · O limite de erro de Lagrange é $|R_n(x)|\le$
Uses the $(n+1)$th derivative bound and $(n+1)!$. · Usa o limite da $(n+1)$-ésima derivada e $(n+1)!$.
Finding the pieces
- $(n+1)$: one more than the polynomial's degree — the first missing term's order.
- $M$: a bound on the $(n+1)$th derivative's absolute value between $a$ and $x$ (use the biggest it gets).
- $|x-a|^{n+1}$: the distance from the center, raised to that power.
- Multiply, divide by $(n+1)!$, and you have a guaranteed error ceiling.
Encontrando as peças
- $(n+1)$: um a mais que o grau do polinômio — a ordem do primeiro termo ausente.
- $M$: um limite para o valor absoluto da $(n+1)$ª derivada entre $a$ e $x$ (use o maior que ela atinge).
- $|x-a|^{n+1}$: a distância do centro, elevada a essa potência.
- Multiplique, divida por $(n+1)!$, e você terá um teto de erro garantido.
For a degree-$n$ polynomial, $M$ bounds which derivative? · Para um polinômio de grau $n$, qual derivada é limitada por $M$?
One past the degree: the $(n+1)$th derivative. · Uma além do grau: a ⟨$(n+1)$⟩-ésima derivada.
In the bound, $M$ is... · No limite, $M$ é...
A worst-case bound on the next derivative. · Um limite de pior caso para a próxima derivada.
Proving accuracy
- To show $P_n$ is within, say, $0.001$: compute the Lagrange bound and check it's $\le 0.001$.
- Because the bound overestimates the true error, if the bound is small, the real error is smaller.
- Larger $n$ shrinks the bound (bigger factorial, more accuracy).
- It's the rigorous companion to Taylor approximation.
Provar precisão
- Para mostrar que $P_n$ está dentro, digamos, de $0.001$: calcule o limite de Lagrange e verifique se é $\le 0.001$.
- Como o limite superestima o erro real, se o limite for pequeno, o erro real é ainda menor.
- Um $n$ maior reduz o limite (fatorial maior, mais precisão).
- É o companheiro rigoroso da aproximação de Taylor.
With $M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$: $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ? (a decimal) · Com $M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$: $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ? (um decimal)
$\frac{1.2}{6}\cdot0.001=0.0002$.
The Lagrange bound is a guaranteed ceiling, usually larger than the actual error. · O limite de Lagrange é um teto garantido, geralmente maior que o erro real.
If the bound is small, the true error is smaller. · Se o limite for pequeno, o erro verdadeiro é menor.
Increasing the degree $n$ generally makes the error bound... · Aumentar o grau $n$ geralmente torna o limite de erro...
A bigger factorial shrinks the bound → more accuracy. · Um fatorial maior encolhe o limite → mais precisão.
Use the $(n+1)$th derivative and the factorial $(n+1)!$ — one past the polynomial's degree, not $n$. $M$ is the maximum of $|f^{(n+1)}|$ on the interval between $a$ and $x$ (a worst-case bound, so pick a value you can justify is large enough). The bound is a guarantee, usually larger than the actual error.
Use a derivada $(n+1)$ e o fatorial $(n+1)!$ — um além do grau do polinômio, não $n$. $M$ é o máximo de $|f^{(n+1)}|$ no intervalo entre $a$ e $x$ (um limite de pior caso, então escolha um valor que você possa justificar ser grande o suficiente). O limite é uma garantia, geralmente maior que o erro real.
Bound the error of the degree-$2$ Maclaurin polynomial for $e^x$ at $x=0.1$.
- Next derivative: $f'''(x)=e^x$; on $[0,0.1]$, $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- So $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ is within $0.0002$ of $e^{0.1}$. ✓
Limite o erro do polinômio de Maclaurin de grau-$2$ para $e^x$ em $x=0.1$.
- Próxima derivada: $f'''(x)=e^x$; em $[0,0.1]$, $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- Então $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ está dentro de $0.0002$ de $e^{0.1}$. ✓
The Lagrange error bound: $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, where $M$ bounds the $(n+1)$th derivative on the interval between $a$ and $x$. It's the next Taylor term with the derivative replaced by its max — a guaranteed error ceiling for proving an approximation meets a tolerance.
O limite de erro de Lagrange: $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, onde $M$ limita a derivada $(n+1)$ no intervalo entre $a$ e $x$. É o próximo termo de Taylor com a derivada substituída pelo seu máximo — um teto de erro garantido para provar que uma aproximação atende a uma tolerância.