Radius and Interval of Convergence of Power Series · Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências
| English | Português |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | série de potências |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | raio de convergência |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | intervalo de convergência |
Where does a power series make sense?
- A power series 幂级数 is an infinite polynomial: $\sum c_n(x-a)^n$ — like a Taylor series with variable $x$.
- It converges for some $x$ and diverges for others. Which $x$?
- The answer is an interval centered at $a$, measured by the radius of convergence 收敛半径 $R$.
- Finding $R$ and the exact endpoints is the goal.
Onde uma série de potências faz sentido?
- Uma série de potências 幂级数 é um polinômio infinito: $\sum c_n(x-a)^n$ — como uma série de Taylor com variável $x$.
- Ela converge para alguns $x$ e diverge para outros. Quais $x$?
- A resposta é um intervalo centrado em $a$, medido pelo raio de convergência 收敛半径 $R$.
- Encontrar $R$ e os exatos pontos finais é o objetivo.
The radius of convergence
- A power series converges for $|x-a|
- $R$ is the radius: the series converges within distance $R$ of the center $a$.
- Three possibilities: $R=0$ (only at $a$), $R=\infty$ (all $x$), or a finite $R$.
- Find $R$ with the Ratio Test on the terms of the series.
O raio de convergência
- Uma série de potências converge para $|x-a|
- $R$ é o raio: a série converge dentro de distância $R$ do centro $a$.
- Três possibilidades: $R=0$ (apenas em $a$), $R=\infty$ (todos $x$), ou um $R$ finito.
- Encontre $R$ com o Teste da Razão nos termos da série.
The interval of convergence · O intervalo de convergência
A power series converges within radius $R$ of its center — the interval runs from $a-R$ to · até $a+R$, endpoints checked separately. · Uma série de potências converge dentro do raio $R$ em torno de seu centro — o intervalo vai de $a-R$ a $a+R$, com as extremidades verificadas separadamente.
A power series $\sum c_n(x-a)^n$ converges for... · Uma série de potências $\sum c_n(x-a)^n$ converge para...
Within radius $R$ of the center $a$. · Dentro do raio $R$ do centro $a$.
The radius of convergence $R$ can be... · O raio de convergência $R$ pode ser...
A radius is never negative. · Um raio nunca é negativo.
Getting R from the Ratio Test
- Apply the Ratio Test: set $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ and solve for $|x-a|$.
- That inequality has the form $|x-a|
- The center is $a$; the interval runs from $a-R$ to $a+R$.
- The ratio test does the heavy lifting — the algebra just isolates $|x-a|$.
Obtendo R do Teste da Razão
- Aplique o Teste da Razão: defina $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ e resolva para $|x-a|$.
- Essa desigualdade tem a forma $|x-a|
- O centro é $a$; o intervalo vai de $a-R$ a $a+R$.
- O teste da razão faz o trabalho pesado — a álgebra apenas isola $|x-a|$.
For · A favor $\sum\tfrac{x^n}{n}$, the Ratio Test gives $|x|<1$. What is $R$? · Para $\sum\tfrac{x^n}{n}$, o Teste da Razão dá $|x|<1$. Qual é $R$?
$R=1$.
The radius of convergence is typically found using the... · O raio de convergência geralmente é encontrado usando o...
The Ratio Test on the terms reveals $|x-a|
Check the endpoints separately
- The Ratio Test is inconclusive at the endpoints $x=a\pm R$ (there $L=1$).
- So test each endpoint individually by plugging it in and using another series test.
- The interval of convergence 收敛区间 may include neither, one, or both endpoints.
- Write the interval with the correct open/closed brackets after checking both ends.
Verifique os pontos finais separadamente
- O Teste da Razão é inconclusivo nos pontos finais $x=a\pm R$ (ali $L=1$).
- Então teste cada ponto final individualmente inserindo-o e usando outro teste de série.
- O intervalo de convergência 收敛区间 pode incluir nenhum, um ou ambos os pontos finais.
- Escreva o intervalo com os colchetes abertos/fechados corretos após verificar ambas as extremidades.
The Ratio Test is inconclusive at the endpoints, which must be tested separately. · O Teste da Razão é inconclusivo nas extremidades, que devem ser testadas separadamente.
At $x=a\pm R$, $L=1$; use another test. · Em $x=a\pm R$, $L=1$; use outro teste.
For · A favor $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ diverges, $x=-1$ converges. The interval of convergence is... · Para $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ diverge, $x=-1$ converge. O intervalo de convergência é...
Include $-1$ (converges), exclude $1$ (diverges). · Inclua $-1$ (converge), exclua $1$ (diverge).
The Ratio Test gives the radius but is inconclusive at the endpoints — you must test $x=a-R$ and $x=a+R$ separately (they can converge or diverge independently). Don't assume the interval is open or closed; the answer might be $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$, etc. Check both ends every time.
O Teste da Razão dá o raio, mas é inconclusivo nos pontos finais — você deve testar $x=a-R$ e $x=a+R$ separadamente (eles podem convergir ou divergir independentemente). Não assuma que o intervalo seja aberto ou fechado; a resposta pode ser $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$, etc. Verifique ambas as extremidades sempre.
Find the radius and interval of convergence of $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- Ratio Test: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, so $R=1$.
- Endpoints: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (diverges); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (converges).
- Interval of convergence: $[-1,1)$.
Encontre o raio e o intervalo de convergência de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- Teste da Razão: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, logo $R=1$.
- Pontos finais: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (diverge); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (converge).
- Intervalo de convergência: $[-1,1)$.
A power series $\sum c_n(x-a)^n$ converges for $|x-a|
Uma série de potências $\sum c_n(x-a)^n$ converge para $|x-a|